【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 序列实偶 傅里叶变换 实偶 | 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 | 证明 “ 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 “ )
文章目录
- 一、序列实偶 傅里叶变换 实偶
- 二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇
- 三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "
- 1、前置公式定理
- ①、序列实部傅里叶变换
- ②、序列虚部傅里叶变换
- ③、共轭对称序列傅里叶变换
- ④、共轭反对称序列傅里叶变换
- 2、证明过程
- 实序列 傅里叶变换
- 奇对称序列 傅里叶变换
- 实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征
一、序列实偶 傅里叶变换 实偶
如果 x(n)x(n)x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;
二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇
如果 x(n)x(n)x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;
三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "
1、前置公式定理
①、序列实部傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 序列的 实部 xR(n)x_R(n)xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的 共轭对称序列 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω);
xR(n)x_R(n)xR(n) 的 傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω) 具备 共轭对称性 ;
xR(n)⟷SFTXe(ejω)x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})xR(n)⟷SFTXe(ejω)
②、序列虚部傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 序列的 虚部 xI(n)x_I(n)xI(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的 共轭反对称序列 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω);
jxI(n)jx_I(n)jxI(n) 的 傅里叶变换 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω) 具备 共轭反对称性 :
jxI(n)⟷SFTXo(ejω)jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})jxI(n)⟷SFTXo(ejω)
③、共轭对称序列傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 的 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)
xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)
④、共轭反对称序列傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 的 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)
xo(n)⟷SFTjXI(ejω)x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})xo(n)⟷SFTjXI(ejω)
2、证明过程
实序列 傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 为 " 实序列 " ,
根据 x(n)x(n)x(n) 序列的 实部 xR(n)x_R(n)xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的 共轭对称序列 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω); xR(n)x_R(n)xR(n) 的 傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω) 具备 共轭对称性 的特征 :
xR(n)⟷SFTXe(ejω)x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})xR(n)⟷SFTXe(ejω)
性质 , 其 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 有如下特性 :
X(ejω)=X∗(e−jω)X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})X(ejω)=X∗(e−jω)
奇对称序列 傅里叶变换
x(n)x(n)x(n) 序列是 " 奇对称 " 的 ,
根据 x(n)x(n)x(n) 的 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)
xo(n)⟷SFTjXI(ejω)x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})xo(n)⟷SFTjXI(ejω)
性质 , 其 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 有如下特性 :
X(ejω)=jXI(ejω)X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})X(ejω)=jXI(ejω)
前面加了 jjj , 说明 XI(ejω)X_I(e^{j \omega})XI(ejω) 是实的 , jXI(ejω)jX_I(e^{j \omega})jXI(ejω) 是虚的 ;
实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征
结合上述 " 实序列 傅里叶变换 X(ejω)=X∗(e−jω)X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega})X(ejω)=X∗(e−jω) " 和 " 奇对称序列 傅里叶变换 X(ejω)=jXI(ejω)X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega})X(ejω)=jXI(ejω) " ,
对 jXI(ejω)jX_I(e^{j \omega})jXI(ejω) 取共轭 , 然后将 ω\omegaω 取反 , 可得到
X∗(e−jω)=jXI(ejω)=−jXI(e−jω)X^*(e^{-j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})X∗(e−jω)=jXI(ejω)=−jXI(e−jω)
将 jXI(ejω)=−jXI(e−jω)jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega})jXI(ejω)=−jXI(e−jω) 中的 jjj 去掉 , 可得到
XI(ejω)=−XI(e−jω)X_I(e^{j \omega}) = -X_I(e^{-j \omega})XI(ejω)=−XI(e−jω)
XI(ejω)X_I(e^{j \omega})XI(ejω) 和 −XI(e−jω)-X_I(e^{-j \omega})−XI(e−jω) 都是实数 , 这是奇函数的特征 ;
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