【2018.10.12】冥土追魂

原题

题目描述

有一天 Misaka 和 Kuroko 在玩一个关于冥土追魂的游戏....

Misaka和Kuroko在一个 $n * m$ 的棋盘上玩游戏，每个格子上都放着一些呱太。游戏共进行 $k$ 回合，每一回合 Kuroko会选有呱太的一行 i，在这之后Misaka会选择一列 $j$ ，并拿走格子 $(i, j)$ 上的所有呱太，Misaka希望自己拿走的呱太尽可能多，而Kuroko不想让Misaka拿走很多呱太，所以她希望拿走的呱太尽可能少。

在一旁围观的恒温死神希望预测结果，请你预测在双方都采取最优策略的情况下，Misaka最终能拿走呱太的数量。

输入描述

第一行三个数 $n, m, k$。
接下来 $n$ 行，每行 $m$ 个数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示棋盘第 $i$ 行第 $j$ 列上的呱太数量 $a_{i,j}$。

输出描述

输出共一个数，表示在你的预测下，Misaka最终能拿走呱太的数量。

示例1

输入

3 2 4
5 7
3 2
8 5

输出

备注

$1≤ n, m ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ n x m, 1 ≤ a_{i,j} ≤ 10^9$

题解

讲道理，这题现场WA的人可真多。

看懂题意，第一眼就能看出来是个贪心。

因为先选的人要让后取的人取到的数尽可能小，很容易想到每次取剩余的数的最大值最小的一行。

但直接交上去却WA了一波，一时没想通为啥错了。

后来找到了一组 hack 数据：

2 3 3

50 50 50

100 2 1

按照上述贪心做法的结果是150，即先选的人每次钦定第一行。

但如果三次都钦定第二行的话结果是103，反而更小。

为什么呢？第二行有个100挡着，导致第二行的数都不会被取到，而第二行剩下的两个数都是非常小的，也就是说前面取的数大不能决定后面取的数的大小。

也就是说取数操作对这一行有后效性，那就不能直接贪心了。

那能dp吗？$k\le 1000000$，二维dp早就上天了。

翻来覆去好像只能贪心啊……

那可能要推点结论。

回顾一下，由于当先选的人钦定一行时，后选的人肯定会选这行最大的那个数，

因此把每行的数排个序，每行肯定都是从前往后选的。

然后针对上面的 hack 数据，推出一个不知道对不对的结论：当$k\ge m$时，把一行的数选完，一定比不选完更优。

直观感觉是这样就解决一行的后效性了。

既然这样，为了让后选的人选的数的和尽量小，先选的人肯定要根据每行的和从小到大选。

那为什么这样是正确的呢？

考虑只要两行数的情况，并假设$k\ge$ 列长（也就是说能取完一行数），上一行所有数的的和小于下一行。

那取完上一行肯定是最优的。

原因是

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