参考资料：
【自制FOC驱动器】深入浅出讲解FOC算法与SVPWM技术
永磁同步电机(PMSM)的FOC闭环控制详解
FOC入门教程
FOC实现过程中主要公式整理
永磁电机知多少？
无刷直流电机矢量控制技术江崎雅康

1. 有感FOC闭环控制(只含电流环)框架图

首先给出只含电流环的FOC控制框架图。

上图是以电流闭环控制为例的，也就是让电机始终产生一个恒定的力矩（也就是恒定的电流，因为力矩和电流成正比）。

控制流程如下：

对电机三相电流进行采样得到I_a，I_b，I_c。
将I_a，I_b，I_c经过Clark变换得到I_α，I_β。
将I_α，I_β再加上转子当前角度θ经过Park变换得到I_q，I_d。
计算I_q，I_d和其设定值I_{q_ref}，I_{d_ref}的误差。
将上述误差输入两个PID控制器，得到输出的控制电压U_q，U_d。
将U_q，U_d再加上转子当前角度θ进行反Park变换得到U_α，U_β。
用U_α，U_β合成电压空间矢量，输入SVPWM模块进行调制，输出该时刻三个半桥的状态编码值
按照前面输出的编码值控制三相逆变器的MOS管开关，驱动电机。
循环上述步骤。

接下来分别对上述步骤进行拆分讲解。

1.1 电流采样

使用串联的采样电阻进行电流采样。由于电机工作的电流一般很大，所以采样电阻的阻值非常小，甚至和导线的电阻非常接近。

实际设计电流采样电路时，只需要两个采样器即可，由KCL即可由两路电流求出另外一路的电流。

得到的三个电流基本上就是三个相位相差120度的正弦波，其波形图如下所示。

如果直接将三个电流的采样值(非线性信号)作为跟踪对象，就需要使用复杂的高阶控制器，这对于建模成本、处理器算力、控制实时性等都是不利的。

因此，我们需要找到一种方式，将跟踪的信号简化成线性信号。这就用到了Clark变换和Park变换。

1.2 Clark变换

三相电流(I_a，I_b，I_c)在坐标系中表示如下:

很明显，(I_a，I_b，I_c)这三个基向量是非正交的，我们可以做一个基变换将其正交化为一个直角坐标系，我们把新的直角坐标系命名为α-β 坐标系，如下图所示：

得到的Clark变换公式如下：

各行电流乘以2/3是为了将变换后的I_α，I_β的范围限制在[-1,1]内，这种变换也称为等幅值变换，这是因为采用MCU控制时，会使用[-1,1]的定点数，否则I_α，I_β的范围将达到[-1.5,1.5]。

同时，这里多乘了2/3，电流值也会变成原来的2/3，所以后续在计算电压输出时的坐标逆变换中，要乘以3/2来回复原值。这里乘以的2/3将会在SVPWM步骤中乘以3/2给找补回来。

上式其实就是坐标轴投影计算，也即Clark变换，写成矩阵形式如下：

变换后的波形如下图所示：

变换前后的波形对比图如下所示：

可以看到变换后其实还是正弦波。只不过我们少了一个需要控制的变量了，现在只需要控制I_α，I_β这两个变量，让其满足上图的下面的波形变化规律就可以控制电机旋转了，频率还是不变的。

虽然α-β坐标系下少了一维变量，但是新的变量还是非线性的（正弦），有没有办法把它们线性化呢？有的，Park变换就是做这个工作的。

1.3 Park变换

进行Park变换：将α-β 坐标系旋转θ度，把新的直角坐标系命名为d-q坐标系，如下图所示：
(其中θ是转子当前的角度)

可以看出，I_d和I_q是相互垂直的并且同时跟随着磁场方向在旋转。Park变换即，将静止的α，β电流变换成旋转的d轴和q轴电流，θ是转子旋转的角度。Park变换公式如下所示：

写成矩阵形式如下所示：

经过Park变换前后得到的波形如下图所示：

这个操作是可行的，因为我们会通过编码器输入转子的实时旋转角度，所以这个角度始终是一个已知数。经过这一步的变换，我们会发现，一个匀速旋转向量在这个坐标系下变成了一个定值，这个坐标系下两个控制变量I_d和I_q 都被线性化了。

到此为止，我们将本应该跟踪的三个非线性信号I_a、I_b、I_c，通过一系列数学手段转换成为两个线性信号I_d和I_q，简化了控制手段。那么这两个线性信号I_d和I_q具有什么物理含义呢？先看下图：

也就是说，我们一通操作将转子磁链进行了解耦，分解为了转子旋转的径向(I_d)和切向(I_q)这两个方向的变量。其中I_q是我们需要的，代表了期望的力矩输出；I_d是我们不需要的，我们希望尽可能把它控制为0。

接下来以I_d和I_q 这两个值作为反馈控制的对象，那么就可以使用一些线性控制器来进行控制了，比如PID控制器。

1.4 PID控制

在计算得到I_d和I_q后，将其反馈回去，分别与它们的设定值I_{d_ref}和I_{q_ref}进行比较，计算误差，然后分别做PI控制，得到V_d和V_q。

可以看到，这里的PID控制器实际只用到了PI控制，这是因为电流的采样率非常高，不需要加入微分项。

1.5 反Park变换

接着，对V_d,V_q进行反Park变换，将d-q坐标系变换为α-β 坐标系，如下图所示：

变换公式为：

写成矩阵形式如下所示：

至此，得到了V_α,V_β。

1.6 SVPWM

SVPWM的全称是空间矢量脉宽调制(Space Vector Pulse Width Modulation)。

什么是空间矢量？

空间矢量是我们在控制电机过程中虚拟出来的一个矢量，既然是矢量，自然是有大小和方向的，那么它的大小和方向是什么呢？

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