函数的单调性和曲线的凹凸性

2024-05-13 16:16:18

函数的单调性

函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

学习函数单调性时
针对函数定义和特定函数的性质进行判断。

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单调性知识点概述：

单调性改变的点为驻点或是极值点

驻点或极值点的求解方法：一阶求导

·

判断函数单调性的方法有很多，这边推荐定义法和求导法。

定义法：

①在区间D上，任取X1,X2，令X1<X2;
②作差F(X1)-F(X2)；
④确定F(X1)-F(X2)符号的正负;

求导法：

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f’(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f’(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

复合函数求解单调性可用同增异减来判断（考虑定义域）。

曲线的凹凸性

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在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

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凹凸性的知识点概述：

曲线凹凸性变化的点为拐点

凹凸性变化点叫拐点又叫反曲点

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判断曲线凹凸性的方法：二阶导

求导法：

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f’’(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f’’(x)≥0;

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