3.4 函数的增减性与凹凸性

增减性

引子
这个引子直接就奔着结论去，从图像上理解，一阶导数表示斜率嘛
给个图
增函数过一点做切线斜率是正的，减函数是负的
定义
f(x)∈c[a,b]，(a,b)内可导，对于任意的x₁，x₂∈(a,b)且x₁≠x₂

当x₁<x₂时f(x₁)<f(x₂),称f(x)在[a,b]上是增函数
当x₁<x₂时f(x₁)>f(x₂),称f(x)在[a,b]上是增函数

证明
看到闭区间连续，开区间可导，想到啥？中值定理，没有条件3，想到哪个？拉格朗日~

单调递减同理

例题

例1~3求函数单调性，例4开始证明不等式

例1

例2

例3

例4

例65
例6

小结

一阶导数的一般应用就是表示函数的增减性，另一个重要的应用是证明不等式，不等式题目一般措施构造辅助函数

凹凸性

引子
凹凸性也不难理解，还是画个图，找结论
函数的导数就是函数的变化率嘛，函数的一阶导数表现在图像上就是过某一点切线的斜率，那二阶导数就是函数变化率的变化率
左图f(x)的图像，过一点做切线，跟随x变大，斜率在不断变大，右图相反
那么上面两个图求一阶导数以后的函数图像是什么样子呢？
降阶！把f’(x)和g’(x)看成f(x)和g(x)，他俩一个增函数一个减函数，那应该是f’(x)>0，g’(x)<0,就是f’(x)和g’(x)，再还原回去f‘’’(x)>0，g’‘’(x)<0
凹函数和凸函数的定义
y=f(x),x∈D
任意x₁x₂∈D且x₁≠x₂
f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)+f(x₂)]/2,函数称为凹函数
f[(x₁+x₂)/2]>[f(x₁)+f(x₂)]/2,函数称为凸函数
上个图

证明

结论：二阶导数判断函数凹凸性，二阶导数大于0，凹函数，二阶函数小于0，凸函数

例题

例1

例2

例3

本篇完。

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增减性

例题

小结

凹凸性

例题

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