高等数学--函数的单调性，曲线凹凸性及极值（五）

函数单调性

定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果在(a,b)内f’(x)>=0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加。
反之如果f’(x)<=0 ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少。

例3 讨论函数 y= x^(2/3)的单调性

解： x≠0时，函数导数为 y’= 2/3x^(1/3) ,当x=0时，导数不存在。所以在（-∞，0）内，y’<0，单调减少；在(0, +∞）内，y’>0，单调增加。

例4 确定函数f(x)=2x^3-9x ^2+12x-3的单调区间。
解： x∈(-∞，+∞)，f’(x)=6x^2 - 18*x + 12,求解f’(x)=0，得x1=1，x2=2
在（-∞，1)内，f’(x)>0,单调增加；在[1，2]内单调减少，（2，+∞）单调增加。
y:=2*x^3-9*x ^2+12*x-3

函数曲线凹凸性

定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么如果f’’(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的，反之如果f’’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
如果二阶导数f’’(x)无法直观的判断出正负（如二阶导数不存在），那就看经过该点时左右两侧附近有没有异号。

还是以例4 确定函数f(x)=2x^3-9x ^2+12x-3的凹凸性。

y:=2*x^3-9*x ^2+12*x-3
dy1:=diff(y,x)
dy2:=diff(dy1,x)

solve(12*x-18)

该函数的驻点是x1=1，x2=2，分界点是x=3/2，可见（-∞，3/2）图像是凸的，（3/2，+∞）图像是凹的。

因为凹凸性改变了，所以x=3/2也是拐点。

自己琢磨了下，把几个概念弄清楚。
分界点：二阶导数为0，或者二阶导数不存在的点称为分界点，分界点不一定是拐点，经过分界点后凹凸性可以不变。
拐点：是曲线凹凸性经过该点，其凹凸性改变了。
驻点：一阶导数为0的点，和分界点并无关系。如y=x^2，驻点为零点，但y’’=2>0，它没有分界点自然也没有拐点，在整个定义域图像都是凹的。

这3个点都是讨论的函数的局部性。

函数的极值

定义：设函数f(x)在点x0处的某邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域内的任一x，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数的极大值，反之如果f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数的极小值。
极大值和极小值取得的点，统称为极值点。

极值点的讨论是局部性的，就整个定义域来说，f(x0)不见得是最大值或者最小值。

极值点必定是函数的驻点，但驻点却不一定是极值点；导数不存在的点也可能是极值点。

定理：设函数f(x)在点x0处连续，且点x0处的某邻域U（x0，δ）内可导
①如果x∈（x0-δ，x0）时，f’(x)>0,而x∈（x0，x0+δ）时，f’(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值。
②反之如果x∈（x0-δ，x0）时，f’(x)<0,而x∈（x0，x0+δ）时，f’(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值。
③如果x∈（x0，δ）时，f’(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值。

这种方法最完整，能彻底理清楚极值点。

例1 求函数f(x)=(x-4)*(x+1)^(2/3)的极值。
解：定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）

y=(x-4)*(x+1)^(2/3)
diff(y)
solve(ans)

得驻点x=1，而x=-1是函数的不可导点。
驻点和不可导点都有可能取得极值，把整个定义域分成了3个部分，分别分析。
在（-∞，-1）内，f’(x)>0；在（-1，1）内，f’(x)<0，故不可导点x=-1是极大值点。在（1，+∞）内，f’(x)>0，故驻点x=1是极小值点。

第二种方法，如果想简单判断一个驻点，是不是极值点，那么可以设x0是驻点，那么求一下f’’(x0),如果f’’(x0)>0,x0是极小值点，反之为极大值点，上例x=1是驻点，f’’（1）>0，故驻点是极小值点。

函数的最值

方法：①求出f(x)在（a，b）内的驻点及不可导点。
②计算出f(x)在上述驻点，不可导点处的函数值，以及f(a),f(b)
③比较诸值的大小，最大的便是f（x）在[a,b]上的最大值，最小的便是f（x）在[a,b]上的最小值。

也就是说，最值问题化简成了求一阶导数及不可导点的问题。