导数用于判断函数的单调性,凹凸性,极值
导数用于判断函数的单调性,凹凸性,极值
- 单调性
- 凹凸性
- 拐点
- 驻点
- 极大值,极限值
- 函数的最大值,最小值
单调性
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。
(1)如果在(a,b)内,f’(x) > 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调增加
(2)如果在(a,b)内,f’(x) < 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调减少
凹凸性
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内有二阶导数:
(1)如果在(a,b)内,f’’(x) > 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凹的
(2)如果在(a,b)内,f’’(x) < 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凸的
拐点
连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点
如果f’’(x) 在x0的左右两侧临近异号,那么点(x0, f(x0))就是曲线 f(x)的一个拐点。这时f’’(x0) =0或者f’’(x0) 不存在。
驻点
使f’(x)=0的点称为函数f(x)的驻点。
函数f(x)的极值点一定是它的驻点,但是,函数的驻点不一定是极值点。
极大值,极限值
设函数f(x)在x0处有二阶导数,且f’(x0) = 0,f’’(x0)≠0,那么:
(1)当f’’(x0)<0时,函数f(x) 在点x0处取得极大值
(2)当f’’(x0)>0时,函数f(x) 在点x0处取得极小值
函数的最大值,最小值
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,则f(x)在 [a,b]上必有最大值和最小值,且最大值和最小值只能在区间的端点或极值点处取得
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