矩阵的最小路径和—

题目描述：
给定一个 n * m 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。

示例：

[[1,3,5,9],[8,1,3,4],[5,0,6,1],[8,8,4,0]]

返回值：

12

备注:
1<=n,m<=2000
1<=arr_i,j<=100

我的初始思路是想从左上角(0,0)开始出发，每一步比较右边和下边元素的大小，哪个小往那边走，一直走到右下角(n-1,m-1)为止。这个思路是错误的。
反例如下：

如果按我的初始思路，应该是红色路线，最终得到结果是11。而按蓝色路线最终得到的结果是10，比红色路线的结果更小。因此红色路线不是最小路径和。

这道题使用动态规划的思想。逐个计算出矩阵每个位置上的最小路径和，矩阵dp记录每个位置的最小路径和。
矩阵的第一行的位置只能通过不断右移得到。dp[0][j] = a[0][j] + dp[0][j-1];
矩阵的第一列的位置只能通过不断下移得到。dp[i][0] = dp[i-1][0] + a[i][0]；
矩阵的其他内部位置比较从上面和从左边过来哪个路径和更小就取哪个值。dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
最终返回矩阵右下角dp[n-1][m-1]即为所求的矩阵的最小路径和。
参考了牛客网上大神的想法（链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/7d21b6be4c6b429bb92d219341c4f8bb?answerType=1&f=discussion）

C++实现：

int minPathSum(vector<vector<int> >& matrix) {// write code hereint i, j;int n = matrix.size(), m = matrix[0].size();for (i = 0, j = 1; j < m; j++) //第一行只能通过不断右移得到{matrix[i][j] += matrix[i][j - 1];}for (j = 0, i = 1; i < n; i++) //第一列只能通过不断下移得到{matrix[i][j] += matrix[i - 1][j];}for (i = 1; i < n; i++) //中间元素比较从上面和从左边过来哪个路径和更小就取哪个值{for (j = 1; j < m; j++){if (matrix[i][j - 1] < matrix[i - 1][j]){matrix[i][j] += matrix[i][j - 1];}else{matrix[i][j] += matrix[i - 1][j];}}}return matrix[n - 1][m - 1]; //矩阵最小路径和
}

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