[JZOJ5498]【清华集训2017模拟12.10】大佬的难题

Description

给出三个1~n的排列a,b,c
求

∑1≤i,j≤n[ai<aj][bi<bj][ci<cj]

\sum\limits_{1\leq i,j\leq n}[a_i

n<=2e6

Solution

就是求长方体内的点的个数

很容易想到的是排序，然后扫描，用二维数据结构或者分治+数据结构维护
这样的复杂度是O(Nlog2N)O(N\log^2N)的

发掘此题的特殊性，a,b,c都是排列

那么考虑将三维数点转化成二维数点

可以容斥
对于下标对(x,y)，我们先不考虑顺序，那么a,b,c中要么全部满足，要么满足两个

如果将这两个排列两两放在一起数，那么就可以容斥了

即设Pa,b=∑i,j[ai<aj][bi<bj]P_{a,b}=\sum\limits_{i,j}[a_i

考虑Pa,b+Pb,c+Pa,cP_{a,b}+P_{b,c}+P_{a,c}
这三种加起来，那么只满足两个的情况算了一遍，全部满足的情况算了3遍

即设

S=∑1≤i,j≤n[ai<aj][bi<bj][ci<cj]

S=\sum\limits_{1\leq i,j\leq n}[a_i

S1=∑1≤i,j≤n[ai<aj][bi<bj]or[ci<cj][ai<aj]or[ci<cj][bi<bj]

S1=\sum\limits_{1\leq i,j\leq n}[a_i

那么S+S1就是全部的情况，3∗S+S1=Pa,b+Pb,c+Pa,c3*S+S1=P_{a,b}+P_{b,c}+P_{a,c}

成功转化为二维数点问题，排序+树状数组解决

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 2000005
#define LL long long
using namespace std;
int a[N],b[N],c[N],n,s[N];
LL seed,dl;
LL rnd()
{return seed=((seed*(LL)19260817)^(LL)233333)&dl;
}
struct node
{int x,y;friend bool operator <(node x,node y){return x.x<y.x;}
}a1[N];
void gen(int *a)
{fo(i,1,n) a[i]=i;fo(i,1,n) swap(a[i],a[rnd()%i+1]);
}
int lowbit(int k)
{return k&(-k);
}
void put(int k)
{while(k<=n) s[k]++,k+=lowbit(k);
}
LL fd(int k)
{LL s1=0;while(k) s1+=s[k],k-=lowbit(k);return s1;
}
LL get(int *a,int *b)
{fo(i,1,n) a1[i].x=a[i],a1[i].y=b[i];sort(a1+1,a1+n+1);memset(s,0,sizeof(s));LL ans=0;fo(i,1,n) ans+=fd(a1[i].y-1),put(a1[i].y);return ans;
}
int main()
{freopen("dalao.in","r",stdin);freopen("dalao.out","w",stdout);dl=(1<<24)-1;cin>>n;scanf("%lld",&seed),gen(a);scanf("%lld",&seed),gen(b);scanf("%lld",&seed),gen(c);LL ans=get(a,b)+get(b,c)+get(c,a)-(LL)n*(LL)(n-1)/2;printf("%lld\n",ans/2);
}

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