【清华集训2017模拟】Catalan

Description

求Cnmod3814697265625(518)C_n \mod 3814697265625(5^{18})其中CnC_n为卡特兰数第n项
n<=10^18,T<=10

Solution

这么大的组合数取模啊。。。。以前真没见过
首先我们知道Ans=Cn2nn+1Ans={C_{2n}^{n}\over n+1}
根据套路我们只需要把n!写成5^e*f的形式，然后就可以用逆元直接算了
但是如何计算？
首先我们把所有5的倍数提取出来，那么有⌊n5⌋\lfloor{n\over 5}\rfloor个5，并且剩下的数变成了⌊n5⌋!\lfloor{n\over 5}\rfloor!
这样就可以递归下去计算了
那么如何处理剩余的部分？
我们在处理乘法的时候忽略5的倍数，设L=m−−√o=59L=\sqrt mo=5^9，那么我们相当于要求

∏i=0⌊nL⌋−1∏j=0L−1(iL+j)

\prod_{i=0}^{\lfloor{n\over L}\rfloor-1}\prod_{j=0}^{L-1}(iL+j)
假如我们把i,l当做常数，那么我们可以发现后面的东西可以写成(a*i*L+b)的形式
a和b只和L有关，可以预处理
那么这样我们处理出a，b，再处理出一个前缀积，这个东西就可以O(1)计算了
预处理的复杂度是O(L)的
多出来的那一部分直接处理就好了

但是这样只能处理n<=mo的情况，n>mo的情况处理不了，怎么办呢？
我们发现n>mo的时候我们可以把1~n的数按mo分类，其中每一组在模意义下都是同余的
这样直接快速幂计算即可
总复杂度O(L+T log^2N)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const ll mo=3814697265625;
const int L=1953125;
struct note{int e;ll f;note(int _e=0,ll _f=0) {e=_e;f=_f;}
};
ll f[L][2],sum[L],n;
ll mult(ll a,ll b) {ll a1=a/L,b1=a%L,a2=b/L,b2=b%L;ll tmp=a1*a2%mo*L%mo*L%mo;(tmp+=a1*L%mo*b2%mo)%=mo;(tmp+=a2*L%mo*b1%mo)%=mo;(tmp+=b1*b2%mo)%=mo;return tmp;
}
ll mi(ll x,ll y) {ll z=1;for(;y;y/=2,x=mult(x,x))if (y&1) z=mult(z,x);return z;
}
ll F(ll n) {ll a=n/L,b=n%L,ans=1;if (a) ans=mult(ans,sum[a-1]);ans=mult(ans,(mult(mult(f[b][1],a),L)+f[b][0])%mo);return ans;
}
note solve(ll n) {if (!n) return note(0,1);note x=solve(n/(ll)5),ans;if (n>mo) {ll a=n/mo,b=n%mo;ans.f=mult(x.f,mult(mi(F(mo),a),F(b)));} else ans.f=mult(x.f,F(n));ans.e=(ll)(x.e+n/(ll)5)%18;return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if (!b) {x=1;y=0;return;}ll xx,yy;exgcd(b,a%b,xx,yy);x=yy;y=xx-a/b*yy;
}
ll get_inv(ll x) {ll a,b;exgcd(x,mo,a,b);return ((a%=mo)+=mo)%=mo;
}
int main() {freopen("catalan.in","r",stdin);freopen("catalan.out","w",stdout);f[0][0]=1;fo(i,1,L-1) {if (!(i%5)) {f[i][0]=f[i-1][0];f[i][1]=f[i-1][1];continue;}f[i][0]=mult(f[i-1][0],(ll)i);f[i][1]=(f[i-1][0]+mult(f[i-1][1],(ll)i))%mo;}sum[0]=f[L-1][0];fo(i,1,L-1) sum[i]=mult(sum[i-1],(mult(mult(f[L-1][1],(ll)i),(ll)L)+f[L-1][0])%mo);int ty;for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {scanf("%lld",&n);note a=solve(2*n);note b=solve(n);(a.e+=18-2*b.e%18)%=18;ll ni=get_inv(b.f);a.f=mult(a.f,mult(ni,ni));ll nn=n+1;for(;!(nn%5);nn/=5) (a.e+=17)%=18;a.f=mult(a.f,get_inv(nn));ll c=mult(a.f,mi(5,a.e));printf("%lld\n",c);}
}