C - 1111gal password

题目大意

给定正整数NNN，求符合下列条件的整数XXX的个数，对998244353998244353998244353取模：

• XXX是NNN位的正整数
• XXX的每一位数都在[1,9][1,9][1,9]之间（0不行）；
• XXX的相邻两位数之差的绝对值不超过111。

2≤N≤1062\le N\le 10^62≤N≤106

输入格式

NNN

输出格式

输出答案。

样例

NNN	输出
444	203203203
222	252525
100000010000001000000	248860093248860093248860093

分析

根据乘法原理可得，符合条件的NNN位数最多有9N9^N9N个，显然不能暴力求解。
但是，由于每一位会被上一位所限制，所以我们很容易想到使用DP\text{DP}DP求解。
令f(i,j)=Xf(i,j)=Xf(i,j)=X的第iii位上出现jjj的可能数，易得：
f(i,j)={1(i=1)f(i−1,1)+f(i−1,2)(j=1)f(i−1,8)+f(i−1,9)(j=9)f(i−1,j−1)+f(i−1,j)+f(i−1,j+1)(i>1,2≤j≤8)f(i,j)=\begin{cases} 1&(i=1)\\ f(i-1,1)+f(i-1,2)&(j=1)\\ f(i-1,8)+f(i-1,9)&(j=9)\\ f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)&(i>1,2\le j\le8) \end{cases} f(i,j)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​1f(i−1,1)+f(i−1,2)f(i−1,8)+f(i−1,9)f(i−1,j−1)+f(i−1,j)+f(i−1,j+1)​(i=1)(j=1)(j=9)(i>1,2≤j≤8)​
因此，直接输出∑i=19f(n,i)\sum\limits_{i=1}^9f(n,i)i=1∑9​f(n,i)即可。

代码

本代码运用了滚动表的优化，当然也可以直接开N×9N\times9N×9大小的数组，但这样会导致内存占用大，不建议使用。

#include <cstdio>
#define MOD 998244353
using namespace std;inline void mod(int& x)
{if(x >= MOD) x -= MOD;
}int dp[9], ldp[9];int main()
{int n;scanf("%d", &n);for(int i=0; i<9; i++)dp[i] = 1;while(--n){for(int i=0; i<9; i++)ldp[i] = dp[i];mod(dp[0] += dp[1]), mod(dp[8] += dp[7]);for(int i=1; i<8; i++)mod(dp[i] += ldp[i - 1]),mod(dp[i] += ldp[i + 1]);}int ans = 0;for(int i=0; i<9; i++)mod(ans += dp[i]);printf("%d\n", ans);return 0;
}

---

D - ABC Transform

题目大意

给定由A、B、C组成的字符串SSS。令S0=SS_0=SS0​=S，Si=Si−1S_i=S_{i-1}Si​=Si−1​将A、B、C分别替换为BC、CA、AB的新字符串。
回答QQQ个查询，第iii个查询的问题如下：

• 求StiS_{t_i}Sti​​的第kik_iki​个字母。

1≤∣S∣≤1051\le |S|\le 10^51≤∣S∣≤105
1≤Q≤1051\le Q\le 10^51≤Q≤105
1≤ti≤10181\le t_i\le 10^{18}1≤ti​≤1018
1≤ki≤min(1018,Sti1\le k_i\le min(10^{18},S_{t_i}1≤ki​≤min(1018,Sti​​的长度)))

输入格式

SSS
QQQ
t1k1t_1~k_1t1​ k1​
⋮\vdots⋮
tQkQt_Q~k_QtQ​ kQ​

样例

样例输入1

ABC
4
0 1
1 1
1 3
1 6

样例输出1

A
B
C
B

• S0=S_0=~S0​= ABC
• S1=S_1=~S1​= AABCB

样例输入2

CBBAACCCCC
5
57530144230160008 659279164847814847
29622990657296329 861239705300265164
509705228051901259 994708708957785197
176678501072691541 655134104344481648
827291290937314275 407121144297426665

样例输出2

A
A
C
A
A

注意小心整数溢出问题。

分析

令f(t,k)=(S0f(t,k)=(S_0f(t,k)=(S0​为AAA..时StS_tSt​的第kkk个字母，其中A、B、C分别对应0,1,20,1,20,1,2且kkk从000开始)))，则通过找规律可得：
f(t,k)={0(t=0)g(0,t)(k=0)g(f(t−1,⌊k2⌋),(kmod2)+1)(t>0,k>0)f(t,k)=\begin{cases} 0 & (t=0)\\ g(0,t) & (k=0)\\ g(f(t-1,\lfloor\frac k2\rfloor),(k\bmod2)+1) & (t>0,k>0) \end{cases} f(t,k)=⎩⎪⎨⎪⎧​0g(0,t)g(f(t−1,⌊2k​⌋),(kmod2)+1)​(t=0)(k=0)(t>0,k>0)​
其中g(c,x)g(c,x)g(c,x)为字符ccc在A,B,C,A,...这个环中ccc后面的第xxx个字符，即g(c,x)=(c+x)mod3g(c,x)=(c+x)\bmod3g(c,x)=(c+x)mod3。
因此，我们只要求出xxx在SSS的哪个字符分解后的结果中，再计算fff即可。
答案为ans=g(f(t,(k−1)mod2t),S⌊k−12t⌋)\mathrm{ans}=g(f(t,(k-1)\bmod2^t),S_{\lfloor\frac {k-1}{2t}\rfloor})ans=g(f(t,(k−1)mod2t),S⌊2tk−1​⌋​)。

代码

以下两种示范代码均使用非递归形式，当然也可使用递归形式。

代码1（标准）

#include <cstdio>
using namespace std;char s[100005];int main()
{scanf("%s", s);int q;scanf("%d", &q);while(q--){long long t, k;scanf("%lld%lld", &t, &k);k --;int x = s[t < 64? k >> t: 0] - 'A'; // 防止t太大导致REwhile(t > 0 && k > 0){x = (x + int(k & 1LL) + 1) % 3;k >>= 1LL, t --;}putchar((t + x) % 3 + 'A');putchar('\n');}return 0;
}

代码2（优化）

#include <cstdio>
using namespace std;char s[100005];int main()
{scanf("%s", s);int q;scanf("%d", &q);while(q--){long long t, k;scanf("%lld%lld", &t, &k);k --;int c = 0;if(t < 64){c = s[k >> t] - 'A';k &= (1LL << t) - 1LL;}else c = s[0] - 'A';for(c+=t%3; k>0; k&=k-1) c ++;putchar(c % 3 + 'A');putchar('\n');}return 0;
}

---

E - (∀x∀)

题目大意

对于TTT个测试点，分别解决下列问题：
给定整数NNN和字符串SSS，求合法字符串XXX的个数，使其符合下列条件：

• ∣X∣=N|X|=N∣X∣=N
• XXX由大写英文字母组成，是一个回文串
• 按字典序，X≤SX\le SX≤S

1≤T≤2500001\le T\le 2500001≤T≤250000
1≤N≤1061\le N\le 10^61≤N≤106
1≤∑N≤1061\le \sum N\le 10^61≤∑N≤106
∣S∣=N|S|=N∣S∣=N且由大写英文字母组成。

分析

显然，通过XXX的前⌈N2⌉\lceil\frac N2\rceil⌈2N​⌉个字符就可以确定唯一的XXX。下面，我们以ABCDE为例：

• ABCDE的前⌈N2⌉\lceil\frac N2\rceil⌈2N​⌉个字符分别为ABC
• 字典序小于ABC的字符串有282828个（可看作一个262626进制数来计算）
• 判断ABCBA是否可行，与ABCDE比较
• 可行，答案增加111得到292929

因此，我们输出292929。其他情况类似。

代码

#include <cstdio>
#define maxn 1000005
#define MOD 998244353
using namespace std;using LL = long long;
char s[maxn];int main()
{int T;scanf("%d", &T);while(T--){int n;scanf("%d%s", &n, s);long long x = 0LL;int j = n - 1 >> 1;for(int i=0; i<=j; i++)(x = x * 26LL + s[i] - 'A') %= MOD;bool ok = true;while(j >= 0){if(s[j] < s[n - 1 - j]) break;if(s[j] > s[n - 1 - j]) { ok = false; break;}j --;}if(ok && ++x == MOD) x -= MOD;printf("%lld\n", x);}return 0;
}

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