AtCoder Beginner Contest 250 C~E 题解
ABC250 C~E
- [C - Adjacent Swaps](https://atcoder.jp/contests/abc250/tasks/abc250_c)
- 题目大意
- 输入格式
- 输出格式
- 样例
- 分析
- 代码
- [D - 250-like Number](https://atcoder.jp/contests/abc250/tasks/abc250_d)
- 题目大意
- 输入格式
- 输出格式
- 样例
- 分析
- 代码
- [E - Prefix Equality](https://atcoder.jp/contests/abc250/tasks/abc250_e)
- 题目大意
- 输入格式
- 样例
- 样例输入
- 样例输出
- 分析
- 代码
C - Adjacent Swaps
题目大意
NNN个球从左到右排成一列。开始时，从左往右的第iii个球上写着数字iii。
请执行QQQ个操作，第iii个操作如下：
- 令j=Nj=~Nj= N个球中写着数字xix_ixi的球的位置
- 如果j=Nj=Nj=N，将其与第j−1j-1j−1个球交换；否则，与第j+1j+1j+1个球交换。
求所有操作后的球上分别写的数字。详见输出格式。
2≤N≤2×1052\le N\le 2\times 10^52≤N≤2×105
1≤Q≤2×1051\le Q\le 2\times 10^51≤Q≤2×105
1≤xi≤N1\le x_i\le N1≤xi≤N
输入格式
NQN~QN Q
x1x_1x1
⋮\vdots⋮
xQx_QxQ
输出格式
令ai=Na_i=Nai=N个球中从左往右的第iii个在所有操作结束后写的数，则按如下格式输出：
a1a2…ana_1~a_2~\dots~a_na1 a2 … an
即将a1,…,ana_1,\dots,a_na1,…,an按顺序输出到一行，用空格隔开。
样例
略，请自行前往AtCoder查看。
分析
根据数据范围可得，本题只能使用时间复杂度不超过O(N+Qlogn)\mathcal O(N+Q\log n)O(N+Qlogn)的算法。
因此，暴力模拟，即查找每个球对应的位置jjj（O(NQ)\mathcal O(NQ)O(NQ)）肯定是行不通的。
但是很容易想到可以设置索引数组ppp，使当ai=xa_i=xai=x时，px=ip_x=ipx=i。
这样，对于每一个操作，只需O(1)\mathcal O(1)O(1)的时间复杂度就能找到xix_ixi出现的位置。
交换时注意同时交换一下aaa和ppp中的元素即可。总时间复杂度O(N+Q)\mathcal O(N+Q)O(N+Q)。
代码
#include <cstdio>
#define maxn 200005
using namespace std;inline void swap(int& x, int& y) { x ^= y ^= x ^= y; }int pos[maxn], ans[maxn];int main()
{int n, q;scanf("%d%d", &n, &q);for(int i=1; i<=n; i++)ans[i] = pos[i] = i;while(q--){int x;scanf("%d", &x);int p1 = pos[x];int p2 = p1 == n? p1 - 1: p1 + 1;swap(pos[x], pos[ans[p2]]);swap(ans[p1], ans[p2]);}for(int i=1; i<=n; i++)printf("%d ", ans[i]);return 0;
}
D - 250-like Number
题目大意
当一个正整数kkk满足以下条件时，我们称其为“与250250250相似的”：
- k=p×q3k=p\times q^3k=p×q3，其中p,qp,qp,q均为质数，且p<qp<qp<q。
求不超过NNN的“与250250250相似的”kkk的个数。
1≤N≤10181\le N\le 10^{18}1≤N≤1018
输入格式
NNN
输出格式
将答案输出为一个整数。
样例
| NNN | 输出 |
|---|---|
| 250250250 | 222 |
| 111 | 000 |
| 123456789012345123456789012345123456789012345 | 226863226863226863 |
分析
看到数据范围后我们发现NNN太大，不能盲目下手。
由k=p×q3,k≤Nk=p\times q^3,k\le Nk=p×q3,k≤N可知，p×q3≤N≤1018p\times q^3\le N\le 10^{18}p×q3≤N≤1018。
又因为p,qp,qp,q是质数，且p<qp<qp<q可得，2≤p<q2\le p<q2≤p<q。
因此，当ppp最小时qqq最大，所以q≤N=1018p=23≈794000q\le \sqrt[3]{\frac {N=10^{18}} {p=2}}\approx794000q≤3p=2N=1018≈794000。
这时，可以想到筛出质数表，并对于每个质数ppp计算最大的qqq，此时质数p<x≤qp<x\le qp<x≤q都能作为qqq，因此将答案加上p<x≤qp<x\le qp<x≤q的质数数量即可。当p≥qp\ge qp≥q时，退出循环，输出结果即可。
计算qqq时可以使用二分查找或者双指针算法快速处理。
总时间复杂度大约在O(n722)\mathcal O(n^{\frac 7 {22}})O(n227)。
代码
本代码使用双指针实现。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#define maxp 794000
using namespace std;using LL = long long;bool bad[maxp];
vector<int> primes;inline LL pow3(LL x) { return x * x * x; }int main()
{bad[0] = bad[1] = true;for(int i=2; i<maxp; i++)if(!bad[i]){primes.push_back(i);for(int j=i<<1; j<maxp; j+=i)bad[j] = true;}LL n;scanf("%lld", &n);LL ans = 0LL;for(int i=0, j=primes.size()-1; i<j; i++){while(j >= 0 && primes[i] * pow3(primes[j]) > n) j --;if(i >= j) break;ans += j - i;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}
E - Prefix Equality
题目大意
给定长度为NNN的正整数序列A=(A1,…,AN)A=(A_1,\dots,A_N)A=(A1,…,AN)和B=(B1,…,BN)B=(B_1,\dots,B_N)B=(B1,…,BN)。
对于每个1≤i≤Q1\le i\le Q1≤i≤Q，给定两个正整数xi,yix_i,y_ixi,yi，回答如下格式的查询：
- 判断集合{A1,…,Axi}\{A_1,\dots,A_{x_i}\}{A1,…,Axi}和{B1,…,Byi}\{B_1,\dots,B_{y_i}\}{B1,…,Byi}是否相等。
集合可以说成是序列排序并去重的结果，如序列(9,3,5,3,4)(9,3,5,3,4)(9,3,5,3,4)对应的集合是{3,4,5,9}\{3,4,5,9\}{3,4,5,9}。
1≤N,Q≤2×1051\le N,Q\le 2\times 10^51≤N,Q≤2×105
1≤Ai≤Bi≤1091\le A_i\le B_i\le 10^91≤Ai≤Bi≤109
1≤xi,yi≤N1\le x_i,y_i\le N1≤xi,yi≤N
输入格式
NNN
A1…ANA_1~\dots~A_NA1 … AN
B1…BNB_1~\dots~B_NB1 … BN
QQQ
x1y1x_1~y_1x1 y1
⋮\vdots⋮
xQyQx_Q~y_QxQ yQ
样例
样例输入
5
1 2 3 4 5
1 2 2 4 3
7
1 1
2 2
2 3
3 3
4 4
4 5
5 5
样例输出
Yes
Yes
Yes
No
No
Yes
No
分析
本题做法很多。这里我们介绍使用哈希(Hash)的算法。
现在我们有一个很简单但明显错误的思路：
将AAA和BBB做一个前缀和，只计算不重复的元素，即
PA(i)=∑{A1,…,Ai}PB(i)=∑{B1,…,Bi}P_A(i)=\sum\{A_1,\dots,A_i\}\\ P_B(i)=\sum\{B_1,\dots,B_i\} PA(i)=∑{A1,…,Ai}PB(i)=∑{B1,…,Bi}
此时，只需判断PA(xi)P_A(x_i)PA(xi)和PB(yi)P_B(y_i)PB(yi)是否相等即可。时间复杂度为O(N+Q)\mathcal O(N+Q)O(N+Q)或O(Q+NlogN)\mathcal O(Q+N\log N)O(Q+NlogN)。
构造hack数据也很简单，只需部分前缀和相等即可，如：
5
1 3 5 6 7
3 2 4 1 5
1
3 3
这样，因为1+3+5=3+2+4=91+3+5=3+2+4=91+3+5=3+2+4=9，所以这样的程序会认为这是相等的序列，从而输出Yes，但显然{1,3,5}≠{3,2,4}\{1,3,5\}\ne\{3,2,4\}{1,3,5}={3,2,4}，因此答案为No，程序错误。
现在考虑改进这个思路，使其不容易被hack，可以使用一个哈希函数：
H(x)=x(x+A)(x+B)modPH(x)=x(x+A)(x+B)\bmod P H(x)=x(x+A)(x+B)modP
其中A,B,PA,B,PA,B,P一般取质数，H(x)H(x)H(x)即为xxx对应的哈希值。（对PPP取模是为了防止哈希值太大导致溢出）
显然，这样有一个很小的概率会产生哈希冲突（即不同的数得到相同的哈希值），但因为A,B,PA,B,PA,B,P的取值太多，评测机没法针对性的hack，所以正常情况下都能通过（CF的Hack机制除外）。如果真担心有问题，可以采取双哈希，即对于一个xxx，用两个不同的哈希函数计算哈希值，这样就几乎不可能出现哈希冲突了。
现在，前缀和变为：
PA(i)=∑{H(A1),…,H(Ai)}modPPB(i)=∑{H(B1),…,H(Bi)}modPP_A(i)=\sum\{H(A_1),\dots,H(A_i)\}\bmod P\\ P_B(i)=\sum\{H(B_1),\dots,H(B_i)\}\bmod P PA(i)=∑{H(A1),…,H(Ai)}modPPB(i)=∑{H(B1),…,H(Bi)}modP
还是按原来的思路，判断前缀和是否相等即可。
总时间复杂度为O(n)\mathcal O(n)O(n)（unordered_set/HashSet）或O(nlogn)\mathcal O(n\log n)O(nlogn)（set/TreeSet）。
代码
这里还是要提一点，就是使用哈希时有一个小技巧，即直接取P=232−1P=2^{32}-1P=232−1（unsigned int）或者P=264−1P=2^{64}-1P=264−1（unsigned long long），使整数自然溢出，省去了麻烦又耗时间的取模步骤。CodeForces上还是建议取较大的质数（常用的有109+7,99824435310^9+7,998244353109+7,998244353）作为PPP，以免被hack导致丢分。
这里我用的哈希函数为H(x)=x(x+93)(x+117)mod(232−1)H(x)=x(x+93)(x+117)\bmod(2^{32}-1)H(x)=x(x+93)(x+117)mod(232−1)，即A=93,B=117,P=232−1A=93,B=117,P=2^{32}-1A=93,B=117,P=232−1。
#include <cstdio>
#include <unordered_set>
#define maxn 200005
using namespace std;inline int read()
{char c;while((c = getchar()) < '0' || c > '9');int res = c ^ 48;while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);return res;
}unsigned suma[maxn], sumb[maxn];
inline void hread(unsigned* psum, int n)
{unordered_set<int> s;for(int i=1, x; i<=n; i++){psum[i] = psum[i - 1];if(s.insert(x = read()).second)psum[i] += x * unsigned(x + 93) * unsigned(x + 117);}
}int main()
{int n = read();hread(suma, n);hread(sumb, n);for(int q=read(); q--;)puts(suma[read()] == sumb[read()]? "Yes": "No");return 0;
}
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