高级数学建模模型——对数正态分布
最近闲暇时间很多，正好也可以收集整理一些之前学习的资料，还有自己的一些经验供大家参考。这一次我将使用简单的语言，使用实例的方式展示对数正态分布在数学建模比赛中的应用。
正态分布物理意义
我们先从正态分布的物理意义说起，虽然大家可能都知其公式，但是对其物理意义并没非常深刻的理解。简而言之，正态分布的物理意义是——“正态分布是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成的”。其中常常在书中拿来被举例的就是著名的高尔顿板：
对于每一个下落的小球来说，每一次撞到钉子，都有0.5的概率去左边，0.5的概率去右边。而在下落时有会撞到很多钉子；钉子与钉子之间也没有任何关系。所以最后的下落的整体趋势呈现出正态分布。
对数正态分布
但是现实往往是复杂的，这体现在许多事情都有蛛丝马迹的联系。以国家的GDP为例，各个国家的GDP种类与许多因素（元误差）相关，比如人口数量、科技水平、平均受教育程度、拥有资源（自然资源与人文资源）、所处的地理位置等等因素。
但是这些造成GDP差异的因素之间存在千丝万缕的关系。譬如说科技水平高的地区，相对更重视教育，所以平均人口素质较高；平均人口素质高了之后又可能会提升资源利用率，也可以创作出新的资源（这里只如文学作品，电影等等，可以参考文明6电影工厂加繁荣加旅游业绩）；有了更多的资源又能进一步提升平均素质。总的来说这些因素间呈现相互促进的关系。
而一旦这些元误差（因素）相互促进，那么最后的结果就会呈现对数正态分布，而且吊车尾越长说明元误差间的相互作用更大，下面以世界银行统计的各个国家2018年的GDP（这一年统计的相对比较全面）为例具体说明：
可以看到有统计数据的244个国家与地区中，GDP较小的后220个国家几乎一直贴地，并看不出来符合何种统计分布。
对GDP取对数后看，已经很符合正态分布了
后面吊车尾太长了，画不下QRZ
可以看出有正态分布的味了
当然各个国家GDP的分布波动很厉害，这也是社会学统计的正常现象，如果用理想实验来说明最后的拟合效果会好很多。
对数正态分布试用范围
对数正态分布比较常见在社会学分析之中。判断应该使用正态分布还是对数正态分布只需把握最关键的一个标准，即：如果导致这个数据产生差异的元误差是相互独立或者近似独立的，那么使用正态分布；如果元误差之间是相互作用的，则使用对数正态分布。
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