投篮问题的数学建模[共10页]

摘 要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.82.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。关键词投篮，出手高度，出手速度，入射角度 问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式罚球。我们建立数学模型研究以下数学问题1 先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度时所对应的不同篮框的入射角度；2 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度和篮框的入射角度是否符合这个条件；3 为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后这里暂不考虑偏左或偏右， 只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4 考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1 模型假设 、假设球出手后不考虑自身的旋转； 、不考虑篮球碰篮板； 、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定 d 篮球直径 D 篮框直径 L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度 h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 按照标准尺寸，L4.6m，H3.05m，d24.6cm，D45cm1.2、问题的分析与模型的建立 问题1的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点(球心)的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x水平方向和y(竖直)方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度、出手高度，计算出手角度和入射角度。图1.1 投篮模型 由于不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在 t0时以出手速度 v和出手角度投出，可视为质点球心的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的 1.1其中g是重力加速度，由此可得到球心运动轨迹为如下抛物线 1.2 以xL，yH-h代入上式，就得到球心命中框心的条件 1.3可以看出，给定出手速度v和出手高度h，有两个出手角度满足这个条件。而上式有解的前提为 1.4可对v求解得 1.5于是对于一定的高度h，使上式等号成立的为最小出手速度v它是h的减函数。由1.3式计算出两个出手速度角度记作、且设，可以看出是h和v的减函数球入篮筐时的入射角度可从下式得到 1.6这里的导数由1.2式计算代入后可得 1.7于是对应于、，有、，设 问题2的分析与模型的建立 考虑篮球和篮框的大小时，篮球的直径d，篮框的直径D。显然，即使球心命中球框，若入射角太小，球会碰到框的近侧A，不能入框。如图所示图1.2 球入篮时的模型由图不难得出满足的球心应命中框心且球入框的条件。 1.8将d24.6cm，D45.0cm代入得 ，前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。 问题3的分析与模型的建立 球入框时，球心可以偏离框心，偏前的最大距离为，可以从入射角算出.根据和球心轨迹中x与的关系，能够得到出手角度允许的最大偏差，出手速度v允许的最大偏差可以类似的处理。球入筐时球心可以偏前偏后与偏前一样的最大距离为 1.9为了得到出手角度允许的最大偏差，可以在1.3式中以L代替L重新计算，但是由于中包含，从而也包含，所以这种方法不能解析的求出。如果从1.2式出发并将yH-h代入，可得 1.10对求导并令xL，就有 1.11用近似代替左边的导数，即可得到出手角度的偏差与的如下关系 1.12由和已经得到的也容易计算相对偏差类似的，1.10式对v求导并令xL，可得到出手速度允许的最大偏差 1.13由1.12、1.13式的相对偏差为 1.142模型的求解及结果分析2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使1.5式等号成立的v为最小出手速度，在这个速度下由1.3式可得相应的出手角度为 2.1取出手高度 h1.82.1m，利用公式求出，再根据，求出，用MATLAB求解，代码如下function vfunh;H3.05;g9.8;L4.6;vsqrtg*H-hsqrtL2H-h2;fun1.8ans 7.6789fun1.9ans 7.5985fun2.0ans 7.5186fun2.1ans 7.4392结果如下图所示。表2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度hm m/s度1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度，他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.2 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v8.09.0m/s和出手高度1.82.1m，由公式，用MATLAB求解、function ffun1v;L4.6;H3.05;g9.8;h1.8;tv2/g*L*1sqrt1-2*g/v2*H-hg*L2/2*v2;fatant/pi*180;fun18.0ans 62.4099用此求出所有的，同理可求出function ffun1v;L4.6;H3.05;g9.8;h1.8;tv2/g*L*1-sqrt1-2*g/v2*H-hg*L2/2*v2;fatant/pi*180;fun18.0ans 42.7925求出所有的，利用所求出的，再根据公式，计算出不同的出手角度、所对应的不同的入射角度、，结果见下表2表2.2 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度vm/shm8.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.3472根据前面计算，应大于才能保证球入框，这里的均小于，不满足条件，所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下，出手角度只能是所对应的。可以发现，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，这种影响在左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，出手速度的影响在之间。2.3 分析出手角度和出手速度的最大偏差利用和上面所求的的，计算出手角度最大偏差和 ，再利用13、14式计算出手速度的最大偏差和，下面只将h1.8m，h2.0m的结果列入下表中。 表2.3 出手角度和出手速度之间的偏差关系hm 度vm/s1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.7100-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243总的看来，允许偏差都相当小。进一步分析可知，速度越大，角度的允许偏差越小，而速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格；出手速度一定时，高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大，但这时对出手角度和出手速度的要求都相对较低。3模型的改进3.1当考虑空气阻力的影响时，出手角度有什么变化。考虑水平方向的阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作适当简化。然后与前面类似的作各种计算。 假设只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比，设比例系数为 k。这时水平方向的运动由微分方程 3.1其解为 3.2因为阻力不大，时间t也很小约1秒，所以将3.2式中的公式做泰勒展开后忽略二阶以上的项得到不考虑竖直方向的阻力，故 yt仍与1.1式相同，得到 3.3 在不考虑篮球和篮筐大小时，球心命中框心的条件由方程组 3.4 同理于模型1，2 的求解，即可求出对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度。总结 篮球比赛投篮命中率是关键，本论文用数学理论知识做物理运动分析，结合微分方法对其求出了投篮时最佳高度和最佳投篮速度，以及在一定高度下，投篮所需的出手角度和入射角度，当然也运用极值原理求出角度和速度的最大偏差，其中，用MATLAB工具去求解出了较为复杂的公式，通过这次建模，使我更加了解了数学的理论知识如何应用到实践中去，运用到生活中去，也更加熟悉了MATLAB在数学上的广泛用途。