最近几年，随着篮球运动和数学科学的发展，现代篮球已经进入了大数据化时代。人们在研究篮球运动员的时候，有了各种各样更加科学的方法，这一切都源于现代篮球，数据统计工具和数学建模领域的联系越来越密切。

球员的投篮稳定性，一直是数学建模和体育交叉领域一项比较热门的研究话题。在最近麻省理工大学的体育分析学术会议上，研究人员Andrew

Bocskocsky, John Ezekowitz 和Carolyn

Stein就发表了他们最近的研究成果和相关会议论文。在论文中，他们详细阐述了关于研究球员投篮稳定性的数学建模方法。

为了方便广大球迷理解，本文仅仅介绍一下这一数学模型的大致建立方法，模型完善的过程和数学思想。并结合上赛季NBA一些球员的投篮数据，让广大球迷了解不同球员的投篮的投篮持续性。

原始数学模型的建立

对于每支球队的当家球星，他们每赛季的投篮出手数可以达到大约1500次，虽然这些出手只有两种结果：命中和未命中，但是我们仍然很难通过肉眼来从中判断出一名球员的投篮是不是稳定的。这时候，强大的数学模型就登场了。这里我们首先介绍这个模型的原始模型。

我们假设研究的虚拟球员名字叫REIGN，为了方便起见，我们假设他整个赛季仅仅完成了10次投篮。这10次投篮的结果是：命中，未命中，命中，未命中，命中，未命中，命中，未命中，命中，未命中。

(第一步)首先我们把命中记为1，未命中记为0。那么对于REIGN就是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0。

(第二步)计算赛季平均投篮命中率。对于REIGN，他的赛季命中率是50%。

(第三步)从第一次投篮开始向后算，每5次投篮算一次这5次投篮的平均命中率。例如，对于REIGN，我们需要计算他1-5次投篮的平均命中率(60%)，2-6次投篮的平均命中率(40%)，3-7次投篮的平均命中率(60%)，4-8次投篮的平均命中率(40%)，5-9次投篮的平均命中率(60%)，6-10次投篮的平均命中率(40%)。然后分别计算他们与赛季平均命中率的差值，这样我们会得到6组差值：10%，-10%，10%，-10%，10%，-10%。

对REIGN的投篮数据处理汇入表格如下：

(第四步)：将这几组差值数据(10%，-10%，10%，-10%，10%，-10%)画在柱状分布图上，我们会发现对于NBA几乎所有的真实存在的球员，他们的数据都会或弱或强的呈现正态分布。我们只需要计算出正态分布的峰度系数kurtosis(峰度是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标

)，就可以用峰度系数来衡量球员的投篮稳定性。峰度系数的绝对值越大，投篮越不稳定。

数学模型的应用

这里我们用杜兰特上赛季的投篮数据来带入这个原始模型，看看能得出什么样的结论。在应用的同时，希望能够帮助读者对于本模型的使用方法有更加深刻的认识。

我们知道，杜兰特是上赛季的MVP。上赛季，杜兰特出场81场，场均时间是38.5分钟，场均得到32分7.4个篮板和5.5次助攻，投篮命中率是50.3%，三分命中率是39.1%。不过这些数据，除了50.3%的命中率，对于本模型都不重要。

上赛季，杜兰特一共出手了1688次，这就意味着一共有1684组差值数据(这些差值数据都是每五次出手的平均命中率与50.3%的差值)。

我们严格按照模型建立顺序来：

(第一步)首先我们把命中记为1，未命中记为0。为了更加直观，我们列出杜兰特前15次 (命中，未命中，命中，未命中，命中，未命中，未命中，未命中，未命中，未命中，命中，命中，命中，命中，命中)，也就是(1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1)。

(第二步)计算赛季平均命中率：50.3%。

(第三步)从第一次投篮开始向后算，每5次投篮算一次这5次投篮的平均命中率。对于杜兰特前15次投篮，我们得出的11组差值数据：

(第四步)：如果纵观杜兰特整个赛季的数据，我们将这1684组差值数据画在柱状分布图上。因为我们选择每5次出手一组，所以我们只能得出-50.3%，-30.3%，-10.3%，+9.7%，+29.7%，49.7%这五种差值。柱状图的纵坐标代表他们的频数。我们发现这大致是一个正态分布：

最后我们计算得到，杜兰特的峰度系数是-0.35。

数学模型得出的结论

杜兰特上赛季的-0.35的峰度系数能说明什么呢？只有纵向比较了之后我们才能知道。

在上赛季场均得分超过18分的28名得分手中，只有詹姆斯哈登和阿弗拉罗的峰度系数比杜兰特的峰度系数还小。也就是说，这28名球员中，只有詹姆斯哈登和阿弗拉罗的投篮比杜兰特更不稳定。哈登的峰度系数最小，达到了-0.45。当然，这并不是说哈登和杜兰特的投篮不好，这只是说明他们更容易变得手感非常火热或者非常冰凉。

投篮最稳定的三个人是克里斯保罗，霍华德和德拉季奇，他们的峰度系数都在-0.19左右。当然了，这也并不是说他们投篮精准，这只代表他们的投篮很少出现大的波动，而是相对地稳定在一个水准。

数学模型的意义

再次重申一遍，-0.35的峰度系数并不是说杜兰特的投篮不好，而是说，相对于其他赛季命中率接近的球员，杜兰特的手感更容易出现大的波动，也就是更容易出现手感非常火热或者非常冰凉的情况。这也就意味着杜兰特连续命中N次投篮的可能性更大，连续打N次铁的可能性也更大。

事实也确实如此：上赛季杜兰特有36次5+连中。包括：3次9连中，6次8连中，2次7连中，5次6连中和20次5连中。这是手感非常炽热的表现，也正好证明了这个模型的意义：峰度系数的绝对值越大，球员就越容易出现手感非常火热或者非常冰凉的情况。

数学模型的优化：考虑平均射程对峰度系数的影响

我们知道任何一个数学模型都是在不断的优化之中变得更加科学严谨的，这个模型也不例外。经验告诉我们，射程越远的球员越容易出现投篮的波动，但我们并不能把责任压给射程远的球员，所以我们要设法排除射程这个因素。也就是说，球员的平均射程可能会影响球员的峰度系数，所以我们需要找到这里面的关系。

选择上赛季那28名有代表性的球员的数据汇入坐标系(横坐标代表平均射程，纵坐标代表峰度系数)。我们发现这两项数据呈现一定的相关性，尽管相关性不是很强(相关性系数是0.32391

)。确实，如经验我们的那样，平均射程越远，峰度系数的绝对值越大，所表现的稳定性越差。

于是，考虑射程的因素，我们可以先粗略的认为，坐标系右上角的球员是投篮很稳定(比如克里斯保罗)的球员，而坐标系右下角的球员(比如大卫李)是投篮不稳定的球员。

定量地分析，考虑到射程因素，我们可以优化一下我们的数学模型方程，得到一个真实的峰度系数和真实的稳定性(true levels of

steadiness)。具体的优化过程和优化方程因过于麻烦在本文没有给出。

然后我们将这28名球员的数据带入这个优化模型，得到他们的真实峰度系数：

我们发现，在优化了模型之后，克里斯保罗，德拉季奇和勒布朗詹姆斯还是一如既往的稳定，而杜兰特则比之前计算的还要不稳定，最不稳定两名球员则是大卫李和安东尼戴维斯。

模型总结

我们需要再次重申一遍，这个模型并不是为了比较哪名球员更加出色，哪名球员投篮更加的精准。这个模型的意义在于：真实峰度系数绝对值越大，那么这名球员相对于其他球员，他们的投篮越容易出现大的波动，也就是说，就更容易变得手感非常火热或者非常冰凉。

这样的一个模型可以让我们更加科学的了解一个球员投篮的稳定性，帮助教练员们更好地了解自己的球员。而这仅仅是现代篮球大数据化时代的一个缩影，随着数学领域与篮球运动更紧密的联系，数据统计工具的发展，数学建模必将更好的推动现代篮球的发展。