数学建模——投篮命中率的数学模型

投篮命中率的数学模型

摘要

随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度(罚球线)位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。

关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType数学软件

一、问题重述

在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定性作用。而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

第一问，在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。这一问只考虑罚球投篮这一简化模型，根据题目已给出的假设条件，假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即只考虑空心球，在此情况下，站在罚球线上怎样罚球才能使命中率高；

第二问，考虑篮球擦板后进篮的情况，即篮球与篮板弹性碰撞的情况下，讨论在限制区边线上分别距篮框中心30度、45度、90度这三种不同(罚球线)位置上出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

二、问题分析

篮球是一项技术综合性较强的运动项目，据科学和实践证明，球的出手角度影响着球的飞行路线，球的飞行路线一般有低弧线、中弧线和高弧线三种，一般以中弧线为最佳。:投篮出手角度,单位为度(°)

(:篮球入框时的入射角,单位为度(°)

(x：球入篮框时球心可以偏离(前后)的最大距离，单位为米(m)

A()：入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，单位为平方米(㎡)

L：限制区底边边长的一半，单位为米(m)，这里L=3.000m

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五、模型建立与求解

对问题一的模型求解：

1.只考虑篮框的大小,忽略空气阻力的影响

如图，设P1P2为篮框横截面，篮框高为H0，半径为R

投篮出手点到篮框中心水平距离为s0，出手高度为h0

投篮出手角度为，速度为v，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A()

建立相应的数学模型及求解：

显然，投球入篮与否与距离s0、出手角度、出手速度v、篮框高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。

于是，该问题转化为求一个角度0(h0, s0)，能使运行区域面积A()最大，即

V P1 P2

O

h0 H0

S0

第一步：由运动学知弧、的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为：

由于过点，则有：