超几何分布HyperGeometricDistribution

超几何分布描述不放回抽样的抽取试验，即每进行一次抽样，事件发生的概率均有一定的变化。

如：

在含有M个红球的N个球中，任取n个球，其中恰有X个红球，则事件{X=k}发生的概率为：

P(X=k,n,M,N)=CMkCN−Mn−kCNn\large\displaystyle P(X=k,n,M,N)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}P(X=k,n,M,N)=CNnCMkCN−Mn−k

如果是抽取n+1n+1n+1个球，则

P(X=k,n+1,M,N)=CMkCN−Mn+1−kCNn+1\large\displaystyle P(X=k,n+1,M,N)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n+1-k}}{C_N^{n+1}}P(X=k,n+1,M,N)=CNn+1CMkCN−Mn+1−k

期望：

E(X)=∑x=0nxP(X=x)=∑x=0nxCMkCN−Mn−kCNn=nMN∑CM−1k−1CN−Mn−(k−1)CN−1n−1=nMN\begin{aligned}\Large\displaystyle E(X) &=\sum_{x=0}^{n}xP(X=x)=\sum_{x=0}^{n}x\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ \Large\displaystyle &=n\frac{M}{N}\sum\frac{C_{M-1}^{k-1}C_{N-M}^{n-(k-1)}}{C_{N-1}^{n-1}} \\ &=n\frac{M}{N}\end{aligned}E(X)=x=0∑nxP(X=x)=x=0∑nxCNnCMkCN−Mn−k=nNM∑CN−1n−1CM−1k−1CN−Mn−(k−1)=nNM

方差
Var(X)=E[(X−E(X))2]=nM(N−M)(N−n)N2(N−1)\displaystyle Var(X)=E[(X-E(X))^2]=n\frac{M(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}Var(X)=E[(X−E(X))2]=nN2(N−1)M(N−M)(N−n)

举例并图示

从含有10个红球的30个球中抽取5个球，则红球个数的概率符合超几何分布。

from scipy import stats
N = 30 # total number of the objects
M = 10 # total number of Type I objects
n=5
# scipy 超几何分布函数的参数顺序是 (总量，类别量，抽取量)
po=stats.hypergeom(N,M,n)
x=np.arange(n+1)
px=po.pmf(x)
# 图形
fig = plt.figure()
ax = plt.gca()
line1 = ax.stem(x,px,basefmt='k',label='抽取红球数量的概率');
ax.set_xlabel('随机变量：抽取红球个数');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title('超几何分布：球总量30，红球10，抽取量5');ax2=plt.twinx()
y=po.cdf(x)
line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.65,0.8));
ax2.legend(loc=(0.65,0.7))

# 统计量期望、方差
po.stats()
#输出为
(array(1.66666667), array(0.95785441))

E(x)=5×1030=5/3E(x)=5×\frac{10}{30}=5/3E(x)=5×3010=5/3

如果猜测红球个数输赢，即P(X=r)>0.5P(X=r)>0.5P(X=r)>0.5，则

po.ppf(0.5)

输出为2.0.

大数据集情况

从含有100个红球的300个球中抽取50个球，则红球个数的概率符合超几何分布，接近正态分布。

N = 300 # total number of the objects
M = 100 # total number of Type I objects
n=50
po=stats.hypergeom(N,M,n)x=np.arange(n+1)
px=po.pmf(x)
# 图形
fig = plt.figure()
ax = plt.gca()
line1 = ax.stem(x,px,basefmt='k',label='抽取红球数量的概率');
ax.set_xlabel('随机变量：抽取红球个数');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title('超几何分布：球总量300，红球100，抽取量50');ax2=plt.twinx()
y=po.cdf(x)
line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.65,0.8));
ax2.legend(loc=(0.65,0.7))