问题：通过编程，求∫01x2dx\int_{0}^{1} x^2\mathrm{d}x∫01x2dx的近似值.
在数学上，这是一道很简单的定积分的题目。使用数学方法，可以进行以下计算：
∫12x2dx=x33∣01=133−033=13=0.333333...\int_{1}^{2} x^2\mathrm{d}x = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}=0.333333...∫12x2dx=3x3∣∣∣01=313−303=31=0.333333...
然而如果使用程序计算，很难按积分的相关公式来进行计算。所以，我们换个思路，直接利用定积分的定义进行求解。

如上图所示（注：本图由LaTeX\LaTeXLATEX 的TikZ包绘制，具体方法参见这里)，曲线为函数 y=x2y = x^2y=x2，而 ∫12x2dx\int_{1}^{2} x^2\mathrm{d}x∫12x2dx 的值实际上曲线在[0, 1] 上与 X轴的夹成的区域，即图中阴影区域的面积。为了通用性，设开始点为x1x_1x1结束点为x2x_2x2。我们将阴影垂直切分成nnn份，则每一份的长度为 Δx\Delta xΔx，其值为
Δx=(x2−x1)n\Delta x = \frac{(x_2-x_1)}{n}Δx=n(x2−x1).
则对于其中一份的面积，可以近似看为一个矩形，高为f(x1+iΔx)f(x_1 + i\Delta x)f(x1+iΔx)，宽度为 Δx\Delta xΔx，即图中蓝色区域，故面积为 f(x1+iΔx)Δxf(x_1 + i\Delta x)\Delta xf(x1+iΔx)Δx。将所有面积求和可得
∑i=1nf(xi)Δx\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta xi=1∑nf(xi)Δx其中 xi=x1+iΔx_i = x_1 + i \Deltaxi=x1+iΔ。当 n→∞n \rightarrow \inftyn→∞ 时，可以等于原值，即：
lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx=∫x1x2f(x)dx\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \mathrm{d}x n→∞limi=1∑nf(xi)Δx=∫x1x2f(x)dx
根据这个公式，当 nnn 取得比较大的时候，我们可以很很容易求得比较接近的原值。

不过用矩形计算，由于忽略的面积比较多，如上图所未，红色区域都被忽略了，所以近似度有限（即收敛慢）。为了提高精度，如果我们将矩形改成梯型。如上图的几何含义，计算结果显然会更接近真实值，所以公式可以改为如下：
∑i=1nf(xi)+f(xi+1)2Δx\sum_{i=1}^{n}\frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}\Delta xi=1∑n2f(xi)+f(xi+1)Δx
根据以上分析，对两种计算方式进行了编码实现（见附录一）。
取nnn等于10000，可以获得以下两种结果。

result1: 0.33328333499999957
result2: 0.33333333500000084

显然，第二种取梯形的结果更接近真实值。

结论与展望

利用以上公式，我们可以快速求定积分的值，尤其是在函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 比较复杂，使用现有的计算公式难以取得其值的情况下，使用计算机会非常方便。在实际工程计算中，只需要将nnn取到足够大，即可满足绝大部分的需求。

附一：源代码

public class Integration {public static void main(String[] args) {double x1 = 0;double x2 = 1;int interval = 10000;double delta = (x2 - x1) / interval;double result1 = 0; double result2 = 0;// 以矩形进行求和。for (int i = 0; i < interval; i++) {result1 += f(x1 + delta * i) * delta;}// 以梯形进行求和for (int i = 0; i < interval; i++) {result2 += (f(x1 + delta * i) + f(x1 + delta * i + delta)) * delta / 2;}System.out.println("result1: " + result1);System.out.println("result2: " + result2);}static double f(double x) {return x * x;}
}

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