考虑

个外表相同的物品,其中有
个同类物品与另一类的
个物品;抽取
个物品,每个物品的抽取等概率随机。

上述便是一个超几何分布(Hypergeometric Distribution)的基本模型。

抽取

类物品的概率

在研究超几何分布的数学期望与方差前,我们先考虑抽取

类物品的概率

要抽取

类物品,那么剩下的
个物品都是
类物品;由于在
个物品中取
个物品有
种取法,在
个物品中取
个物品有
种取法,因此满足条件的取法有
种;而在总共
个物品中取
个物品有
种取法。故所求概率为
.

数学期望

根据数学期望的公式:

,我们可以对其进行一系列变换得到
. 过程如下:

注意到

由于

原式

由于

原式


因此,其数学期望为

,记作

方差

记方差为

,其中
为结果事件集合。在超几何分布中,
。过程如下:

方差有一个通用的变换技巧:令

,由于
,则

由于

,我们只需考虑

由于

,我们考虑

注意到

那么

继续化简,原式

由于

因此


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