几何分布的期望_超几何分布与二项分布的数学期望

引入

故事要从这周数学课上的一次考试说起：

❝

口袋中有黑球、白球共7个.从中任取两个球，若抽到白球的数学期望为，则白球有____个.

❞

我遇到了这样一道题，题目很简单，所以我很快就想出解法，算出答案：设白球有个，所以从中随机取一次，抽出白球的概率是，所以抽出黑球的概率是，所以我就联立方程：

解出答案为

但是很快我就发现这算法「有点问题」：抽出一次后，再放回后抽取第二次，与题意不符，所以就用正确的做法——超几何分布，再次完成计算：

解出答案亦为

结果显示，两种做法的结果相同.

我感觉很神奇，就和其他同学探讨了一下，发现同一组数据如果分别用「二项分布」与「超几何分布」的去计算数学期望，虽然分布列有差异，但是「结果相同」.

经自我探索无果后，就借助网络找到了数学表达式上的证明，在这里跟大家分享一下：

证明

我们先看两个后面要用到的等式：

「解释」：从M个元素中先选出K个元素，再从K个元素中选一个，等价于先从M个元素中选一个元素，再从剩下的M-1个元素中选出K-1个元素.

「解释」：从A-1个元素中取出N-1个元素，等价于先将A-1个元素分为B-1与A-B大小的两个部分，再分别从中取元素，共取N-1个的取法总和.

现在我们开始进行证明：

我们设共有A件产品，其中次品B件. 那么取出次品的概率，未取出次品的概率.

从中每次放回的取出N件，表示其中次品的件数的随机变量为X；从中每次不放回的取出N件，表示其中次品的件数的随机变量为Y；

因此：

所以可以得到

但这只是表达式在形式上的证明，二项分布与超几何分布相关的内在的联系还有待我们做进一步的思考.

作者/二狗子
编辑/顾晓

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