离散时间复指数序列的周期性质

2024-05-12 05:07:34

目录

序言

连续时间复指数信号

离散时间复指数序列的性质考察

考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质

由研究第一条性质得到的规律

考察第二条性质

离散时间复指数序列的基波周期和基波频率

成谐波关系的周期离散时间复指数信号

序言

写这篇博文的目的有两个：

其一是为了下一篇博文：离散周期序列的傅里叶级数做准备，以及以后的信号处理学习打下基础。

其二就是单纯地去学习这一个重要的信号，它和连续时间复指数信号在数字信号处理的地位不可轻视！

连续时间复指数信号

采样对比的方式来研究这个信号，连续时间复指数信号 $e^{jw_{0}t}$ 具有以下两个性质：

$w_{0}$ 愈大，信号振荡的速率就愈高；

$e^{jw_{0}t}$ 对任何 $w_{0}$ 都是周期的。

下面也就这两个方面来考察离散时间复指数序列 $e^{jw_{0}n}$ ；

离散时间复指数序列的性质考察

考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质

研究频率为 $w_{0}+2k\pi,k=0,\pm 1,\pm2,...$ 的离散时间复指数序列：

$e^{j(w_{0}+2k\pi)}=e^{jw_{0}n}e^{j2\pi n}=e^{jw_{0}n}$

可见，在离散时间情况下，具有频率为 $w_{0}$ 的复指数信号与 $w_{0}\pm2\pi, w_{0}\pm4\pi,...$ 这些频率的复指数信号是一样的。

因此：

考虑这种离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个 $2\pi$ 间隔内选择 $w_{0}$ 即可。

由研究第一条性质得到的规律

从上面的式子

$e^{j(w_{0}+2k\pi)}=e^{jw_{0}n}e^{j2\pi n}=e^{jw_{0}n}$

我们知道，离散时间复指数信号 $e^{jw_{0}n}$ 就不具有随 $w_{0}$ 在数值上的增加而不断增加其振荡速率的特性，那它有什么样的规律呢？

看下面这幅图：

从上图我们可以看出如下信息：

随着 $w_{0}$ 从0开始增加，其振荡速率越来越快，直到 $w_{0}=\pi$ 为止，然后继续增加 $w_{0}$ ，其振荡速率就会下降，直到 $w_{0}=2\pi$ 为止，这时又得到和 $w_{0}=0$ 同样的结果（常数序列）。因此，总结如下规律：

离散时间复指数的低频部分（也就是慢变化）位于 $w_{0}$ 在0， $2\pi$ 和任何其他 $\pi$ 的偶数倍附近；

而高频部分（也就是快变化），则位于 $\pi$ 的奇数倍值附近。

特别注意的是，在 $w_{0}=\pi$ 及其他任何 $\pi$ 的奇数倍处，有：

$e^{j\pi n}=(e^{j\pi})^{n}=(-1)^{n}$

以至信号在每一点上都改变符号，产生激烈振荡！

考察第二条性质

第二个性质也就是离散时间复指数信号的周期性问题。

思路：

若要使信号 $e^{jw_{0}n}$ 是周期的，周期为N，就必须有：

$e^{jw_{0}(n+N)}=e^{jw_{0}n}$

这样就必须满足：

$e^{jw_{0}N}=1$

为了满足上式， $w_{0}N$ 必须是 $2\pi$ 的整数倍，也就是必须存在一个m，使得 $w_{0}N=2\pi m$

上式变形：

$\frac{w_{0}}{2\pi}=\frac{m}{N}$

也就是说，如果 $w_{0}/2\pi$ 是一个有理数，则离散时间复指数序列 $e^{jw_{0}n}$ 就是周期的，否则不是；（事实上，这不就是要求 $w_{0}$ 是 $\pi$ 的倍数吗？的确如此，只有这样， $w_{0}/2\pi$ 才是一个有理数呀！）

从这里看来，离散复指数序列的周期性是有条件的，这点和连续复指数信号也不一样。

离散时间复指数序列的基波周期和基波频率

由上面的分析可以知道，如果离散时间复指数序列 $e^{jw_{0}n}$ 满足其成为周期信号的条件，也就是存在一个整数m，使得 $w_{0}N=2\pi m$ ，这样

$e^{jw_{0}n}$ 是一个周期的离散复指数序列，那么它的基波周期和基波频率就可以求得：

由于必须满足 $w_{0}N=2\pi m$ ，所以 $N=2\pi m/w_{0}$ 就是它的基波周期， $w_{0}$ 就是它的基波角频率。

说到这里还是不免觉得有点虚，那就不如用实际例子来说明下吧：（手稿）

如果用现有的结论来判断：

举个反例：

这里再说一句吧，如果 $2\pi/w_{0}$ 为一个整数的话，那么 $N=2\pi/w_{0}$ 就是该离散时间复指数信号 $e^{jw_{0}n}$ 的基波周期。

成谐波关系的周期离散时间复指数信号

手稿形式如下：

最后一部分很重要，下篇博文离散周期信号的傅里叶级数会用到！

记于2018/7/18 22:59

离散时间复指数序列的周期性质相关推荐

【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 )
文章目录一.序列傅里叶变换定义详细分析二.证明单位复指数序列正交完备性三.序列存在傅里叶变换的性质一.序列傅里叶变换定义详细分析序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Seque ...
数字信号处理|用Matlab画复指数序列的实部、虚部、幅值、相位图
题目要求: 现有复指数序列: 画出在[-10,10]范围的实部.虚部.幅值.相位图 1. 生成复指数序列 n = [-10:10]; alpha = 0.1 + 0.3j; x = exp(alpha ...
【 MATLAB 】画出一个复指数序列的幅度、相位、实部和虚部的MATLAB脚本
该复指数序列为: 直接给出MATLAB脚本: clc clear close alln = [-10:10]; alpha = -0.1 + 0.3j; x = exp(alpha*n);subplo ...
信号与系统—周期复指数信号
周期复指数信号重要性在于其可以作为基本的信号构造单元来构造许多其他信号(大多数周期信号都可以由一系列成谐波关系的周期复指数信号线性组合而成).至于如何构造可以学习卷积和傅里叶级数相关内容,本文中主要对 ...
复指数信号的matlab,复指数函数周期怎么算,为什么复变指数函数是周期函数，而实变指...
Q1:为什么复变指数函数是周期函数,而实变指向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个 ...
【六更完结！由于字数限制开新文章继续】零基础信号与系统学习笔记：复指数信号、傅里叶级数的系数推导、三角函数正交性、离散傅里叶变换、相位补偿、z变换表、逆变换表、常见序列及其作用
零基础信号与系统学习笔记:复指数信号.傅里叶变换.三角函数正交性基础1:复指数信号复指数信号基础知识复指数信号推导1 虚指数信号虚指数信号特性和作用直流信号基础2:傅里叶级数推导傅里叶级 ...
Matlab实现复指数，单位冲激，单位阶跃序列
复指数 function[]=dxzsu(n1,n2,w,q) k=n1:n2; f=exp(i*w+q).^k; Xr=real(f) Xi=imag(f) Xa=abs(f) Xn=angle ...
matlab实指数序列,matlab入门篇正弦信号实指数信号和复指数信号的仿真
matlab入门篇正弦信号实指数信号和复指数信号的仿真正弦信号与实指数 /复指数信号的仿真Matlab- -学习目标o 通过对正弦信号.余弦信号.指数信号.复指数信号这些初级信号的仿真,初步掌握各种 ...
《信号与系统》解读第1章信号与系统概述-5：非常重要！！！深入、详细地解读什么基本的复指数信号、IQ信号、欧拉公式？
前言: 正弦信号与复指数信号(更准确称为虚指数信号)是现代移动通信系统中最基本的信号. 其中正弦信号常是射频调制的载波信号,而虚指数信号,包含了两路同频的正交正弦与余弦信号,常用于现代通信基带数字调制 ...

最新文章

热门文章