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一、指数生成函数求解多重集排列示例 2

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一、指数生成函数求解多重集排列示例 2

使用白色红色蓝色涂色 nnn 个格子 , 白色的涂色个数是偶数 , 求涂色方案个数

这是一个排列问题 , 当不同的方格涂色交换之后 , 就变成了不同的方案 ,

红色 , 蓝色涂色 , 没有限制 , 涂色个数可以是 0,1,2,3,4,⋯0, 1,2,3,4,\cdots0,1,2,3,4,⋯

白色涂色 , 涂色个数是偶数个 , 涂色个数是 0,2,4,6,8,⋯0, 2, 4, 6, 8 , \cdots0,2,4,6,8,⋯

红色 , 蓝色涂色个数 0,1,2,3,4,⋯0, 1,2,3,4,\cdots0,1,2,3,4,⋯ 序列 , 对应的生成函数项为 :

x00!+x11!+x22!⋯=1+x+x22!+⋯\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^1}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} \cdots = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots0!x0+1!x1+2!x2⋯=1+x+2!x2+⋯

白色涂色个数 0,2,4,6,8,⋯0, 2, 4, 6, 8 , \cdots0,2,4,6,8,⋯ 序列 , 对应的生成函数项为 :

x00!+x22!+x44!⋯=1+x22!+x44!+⋯\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} \cdots = 1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} + \cdots0!x0+2!x2+4!x4⋯=1+2!x2+4!x4+⋯

上述涂色方案个数的指数生成函数是 :

Ge(x)=(1+x+x22!+⋯)(1+x+x22!+⋯)(1+x22!+x44!+⋯)G_e(x) = (1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots) (1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots) (1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} + \cdots)Ge(x)=(1+x+2!x2+⋯)(1+x+2!x2+⋯)(1+2!x2+4!x4+⋯)

其中 1+x+x22!+⋯1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots1+x+2!x2+⋯ 可以写成 exe^xex 形式 ;

其中 1+x22!+x44!+⋯1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} + \cdots1+2!x2+4!x4+⋯ 可以写成如下形式 :

1+x22!+x44!+⋯=12(ex+e−x)1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} + \cdots = \cfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})1+2!x2+4!x4+⋯=21(ex+e−x)

ex+e−xe^x + e^{-x}ex+e−x 相加 , 奇次幂符号相反 , 直接约掉 , 偶数次幂变为原来的两倍, 因此在外面乘以 12\cfrac{1}{2}21 ;

将上述 exe^xex 和 12(ex+e−x)\cfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})21(ex+e−x) 替换到指数生成函数中 ;

=12(ex+e−x)(ex)(ex)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, =\cfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})(e^x )(e^x) =21(ex+e−x)(ex)(ex)

=12e3x+12ex\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, =\cfrac{1}{2}e^{3x} + \cfrac{1}{2}e^{x} =21e3x+21ex

将 12ex\cfrac{1}{2}e^{x}21ex 展开后为 12(1+x+x22!+⋯)=12∑n=0∞xnn!\cfrac{1}{2}(1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots)=\cfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{x^n}{n!}21(1+x+2!x2+⋯)=21n=0∑∞n!xn

将 12e3x\cfrac{1}{2}e^{3x}21e3x 展开后为 12(1+3x+(3x)22!+⋯)=12∑n=0∞3nxnn!\cfrac{1}{2}(1 + 3x + \cfrac{(3x)^2}{2!} + \cdots)=\cfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{3^nx^n}{n!}21(1+3x+2!(3x)2+⋯)=21n=0∑∞n!3nxn

=12∑n=0∞3nxnn!+12∑n=0∞xnn!\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, =\cfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{3^nx^n}{n!} + \cfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{x^n}{n!} =21n=0∑∞n!3nxn+21n=0∑∞n!xn

=∑n=0∞3n+12⋅xnn!\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, =\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{3^n + 1}{2} \cdot \cfrac{x^n}{n!} =n=0∑∞23n+1⋅n!xn

xnn!\cfrac{x^n}{n!}n!xn 前的系数是 3n+12\cfrac{3^n + 1}{2}23n+1

因此白色红色蓝色涂色 nnn 个格子 , 白色是偶数的情况下 , 涂色方案有 3n+12\cfrac{3^n + 1}{2}23n+1 种 ;

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