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一、给定级数求生成函数
二、给定生成函数求级数

参考博客 :

【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

数列的通项公式就是级数

一、给定级数求生成函数

求 bn=7⋅3nb_n = 7\cdot 3^nbn=7⋅3n 的生成函数 ;

已知数列是 1n1^n1n , 对应的生成函数是
{an}\{a_n\}{an} , an=1na_n = 1^nan=1n ; A(x)=∑n=0∞xn=11−x\begin{aligned} A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}A(x)=n=0∑∞xn=1−x1

先根据数列通项表示 , 写出级数之和 :

G(x)=7×30x0+7×31x1+7×32x2+⋯+7×3nxn+⋯G(x) = 7 \times 3^0x^0 + 7 \times 3^1x^1 + 7 \times 3^2x^2 + \cdots + 7 \times 3^nx^n + \cdotsG(x)=7×30x0+7×31x1+7×32x2+⋯+7×3nxn+⋯

将常数提取到外部 :

G(x)=7(30x0+31x1+32x2+⋯+3nxn+⋯)G(x) = 7 ( 3^0x^0 + 3^1x^1 + 3^2x^2 + \cdots + 3^nx^n + \cdots )G(x)=7(30x0+31x1+32x2+⋯+3nxn+⋯)

写成合式 :

G(x)=7∑n=0∞3nxnG(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty 3^nx^nG(x)=7n=0∑∞3nxn

根据生成函数换元性质 : 通过换元 , 将 3x3x3x 看做一项 :

G(x)=7∑n=0∞(3x)nG(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^nG(x)=7n=0∑∞(3x)n

根据常用生成函数 A(x)=∑n=0∞xn=11−xA(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = \cfrac{1}{1-x}A(x)=n=0∑∞xn=1−x1

可以得出 : ∑n=0∞(3x)n=11−3x\sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n =\cfrac{1}{1-3x}n=0∑∞(3x)n=1−3x1

根据生成函数线性性质 , 乘法性质 : bn=αanb_n = \alpha a_nbn=αan , 则 B(x)=αA(x)B(x) = \alpha A(x)B(x)=αA(x)

可以得出最终的生成函数 G(x)=7∑n=0∞(3x)n=71−3xG(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n = \cfrac{7}{1-3x}G(x)=7n=0∑∞(3x)n=1−3x7

二、给定生成函数求级数

给定序列 {bn}\{b_n\}{bn} 的生成函数 G(x)=21−3x+2x2G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}G(x)=1−3x+2x22 , 求 {bn}\{b_n\}{bn}

先将生成函数转化为其它生成函数之和 ;

G(x)=21−3x+2x2G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}G(x)=1−3x+2x22

将 1−3x+2x21-3x + 2x^21−3x+2x2 分解因式 , 分解为 (1−x)(1−2x)(1-x)(1-2x)(1−x)(1−2x)

将其转为如下形式的和 , 分子 A,BA,BA,B 是待定常数 ;

G(x)=21−3x+2x2=A1−x+B1−2xG(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x}G(x)=1−3x+2x22=1−xA+1−2xB

将上述式子同分 , 表达成 A,BA, BA,B 的分式 :

G(x)=A1−x+B1−2x=A(1−2x)+B(1−x)(1−x)(1−2x)G(x) = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x} = \cfrac{A(1-2x) + B(1-x)}{(1-x)(1-2x)}G(x)=1−xA+1−2xB=(1−x)(1−2x)A(1−2x)+B(1−x)

=A−2Ax+B−Bx(1−x)(1−2x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{A-2Ax + B- Bx}{(1-x)(1-2x)} =(1−x)(1−2x)A−2Ax+B−Bx

=(A+B)−(2A+B)x(1−x)(1−2x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{(1-x)(1-2x)} =(1−x)(1−2x)(A+B)−(2A+B)x

=(A+B)−(2A+B)x1−3x+2x2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{1-3x + 2x^2} =1−3x+2x2(A+B)−(2A+B)x

与 G(x)=21−3x+2x2G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}G(x)=1−3x+2x22 的分子的 xxx 项与常数项对比 :

xxx 一次方项是 000 , 即 2A+B=02A + B = 02A+B=0

常数项是 222 , 即 A+B=2A + B = 2A+B=2

得到方程组 :

{A+B=22A+B=0\begin{cases} A + B = 2 \\\\ 2A + B = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧A+B=22A+B=0

解上述方程组 , 得到结果 :

{A=−2B=4\begin{cases} A = -2 \\\\ B = 4 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧A=−2B=4

则生成函数最终分解成了 : G(x)=21−3x+2x2=−21−x+41−2xG(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{-2}{1-x} + \cfrac{4}{1-2x}G(x)=1−3x+2x22=1−x−2+1−2x4

使用线性性质 :

−21−x\cfrac{-2}{1-x}1−x−2 对应的级数是 : ∑n=0∞(−2)xn\sum\limits_{n=0}^\infty(-2)x^nn=0∑∞(−2)xn , 数列通项是 cn=−2c_n=-2cn=−2 ;

使用线性性质 , 换元性质 :

41−2x\cfrac{4}{1-2x}1−2x4 对应的级数是 : ∑n=0∞4(2x)n=∑n=0∞4⋅2nxn\sum\limits_{n=0}^\infty4(2x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty4\cdot 2^nx^nn=0∑∞4(2x)n=n=0∑∞4⋅2nxn , 数列通项是 4⋅2n4\cdot 2^n4⋅2n

最终的数列是 : bn=−2+4⋅2nb_n = -2 + 4\cdot 2^nbn=−2+4⋅2n

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