文章目录

一、指数生成函数求解多重集排列示例

参考博客 : 按照顺序看

【组合数学】生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )

一、指数生成函数求解多重集排列示例

使用 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4 四个数字组成五位数 , 要求
111 出现次数不能超过 222 次 , 但必须出现 ,
222 出现次数不超过 111 次 ,
333 出现次数最多 333 次 ,
444 出现偶数次 ,
求上述五位数的个数 ;

这就是一个求解多重集排列的题目 , 使用指数生成函数 ;

一共有 555 个位置 , 使用 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4 向这 555 个位置中填充 ,

选取个数分析 :

111 出现不超过 222 次 , 不能不出现 , 也就是必须大于 000 , 则可选取的个数是 1,21,21,2 ,

222 出现不超过 111 次 , 可选取个数 0,10,10,1 ,

333 出现可以达到 333 次 , 可选取的个数 0,1,2,30,1,2,30,1,2,3 ,

444 出现偶数次 , 可选取个数是 0,2,4,6,8,⋯0, 2, 4, 6, 8, \cdots0,2,4,6,8,⋯ , 这里注意一共选择 555 个 , 最终求解多重集时 , 主要是看 x5x^5x5 前的次幂数 , 因此这里的可选取个数就是单个因式中的 xxx 次幂数 , 没必要超过 555 , 选择 0,2,40,2,40,2,4 即可 ;

按照下面的模型 , 写出指数生成函数 ;

多重集 S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \}S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}

多重集 SSS 的 rrr 排列数组成数列 {ar}\{ a_r \}{ar} , 对应的指数生成函数是 :

Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x)G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x)Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x) ★

其中每个生成函数项 fni(x)f_{n_i}(x)fni(x) 是

fni(x)=1+x+x22!+⋯+xnini!f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!}fni(x)=1+x+2!x2+⋯+ni!xni ★

将 Ge(x)G_e(x)Ge(x) 展开 , 其中的 rrr 系数就是多重集的排列数 ; ★

指数生成函数写法 :

① 确定生成函数项个数 : 多重集元素种类个数

② 确定生成函数项中的分项个数 : 选取值个数 ;

③ 分项格式 : xnn!\cfrac{x^n}{n!}n!xn

④ 分项次幂 : 选取值 ;

总共有 444 种元素 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4 , 因此生成函数是 444 个生成函数项相乘 ;

111 元素对应的生成函数项 :

选取值 : 1,21,21,2
最终结果 : x11!+x22!=x+x22!\cfrac{x^1}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} = x + \cfrac{x^2}{2!}1!x1+2!x2=x+2!x2

222 元素对应的生成函数项 :

选取值 : 0,10,10,1
最终结果 : x00!+x11!=1+x\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^1}{1!} = 1 + x0!x0+1!x1=1+x

333 元素对应的生成函数项 :

选取值 : 0,1,2,30,1,2,30,1,2,3
最终结果 : x00!+x11!+x22!+x33!=1+x+x22!+x33!\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^1}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!}0!x0+1!x1+2!x2+3!x3=1+x+2!x2+3!x3

444 元素对应的生成函数项 :

选取值 : 0,2,4,6,⋯0,2,4,6 , \cdots0,2,4,6,⋯ , 这里只选取 555 个 , 求 xxx 的次幂的 555 前的系数 , 这里只需要选取到 0,2,40 , 2, 40,2,4 即可 , 555 以上的数完全不需要 , 可以忽略 ;
最终结果 : x00!+x22!+x44!=1+x22!+x44!\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} = 1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!}0!x0+2!x2+4!x4=1+2!x2+4!x4

将上述指数生成函数中四个指数生成函数项相乘 , 计算出 x5x^5x5 前的系数 , 就是多重集的排列数 ;

Ge(x)=(x+x22!)(1+x)(1+x+x22!+x33!)(1+x22!+x44!)G_e(x) = (x + \cfrac{x^2}{2!}) (1 + x) (1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!}) (1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!})Ge(x)=(x+2!x2)(1+x)(1+x+2!x2+3!x3)(1+2!x2+4!x4)

=x+5x22!+18x33!+64x44!+215x55!⋯\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,= x + 5\cfrac{x^2}{2!} + 18\cfrac{x^3}{3!} + 64\cfrac{x^4}{4!} + 215\cfrac{x^5}{5!} \cdots =x+52!x2+183!x3+644!x4+2155!x5⋯

后面的就不算了 , 其中 x5x^5x5 的项是 215x55!215\cfrac{x^5}{5!}2155!x5 , 因此题目中要求的 555 位数的个数是 215215215 个 ;

【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 )相关推荐

【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 2 )
文章目录一.指数生成函数求解多重集排列示例 2 参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 证明指数生成函数求解多重集排列 )
文章目录一.证明指数生成函数求解多重集排列参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )
文章目录一.指数生成函数性质二.指数生成函数求解多重集排列参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | ...
【组合数学】指数型母函数应用 ( 多重集排列问题 | 不同球放在不同盒子里 | 奇/偶数序列的指数生成函数推导 )
文章目录多重集全排列公式指数型母函数处理多重集排列问题引入指数型母函数处理多重集排列问题公式推导指数型母函数处理有限数字串问题指数型母函数处理 n 位数字串问题指数型母函数 ...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
文章目录一.指数生成函数二.排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数三.指数生成函数示例参考博客 : 按照顺序看 [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常 ...
hdu 1521 排列组合多重集排列 + 指数生成函数
传送门文章目录题意: 思路: 题意: 思路: 显然是多重集排列数,我们考虑构造指数生成函数,让后模拟一下多项式乘法即可啦. 由于存在分数,所以直接用doubledoubledouble即可. // ...
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
文章目录一.使用生成函数求解多重集 r 组合数二.使用生成函数求解多重集 r 组合数示例参考博客 : [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 ...
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
文章目录一.使用生成函数求解不定方程解个数 1.带限制条件 2.带系数参考博客 : [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与 ...
【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
文章目录一.使用生成函数求解不定方程解个数示例参考博客 : [组合数学]生成函数简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多 ...

【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 )

文章目录

一、指数生成函数求解多重集排列示例

【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 )相关推荐

最新文章

热门文章