向量乘向量的转置的平方_MIT线性代数笔记1.5(转置，置换，向量空间)

这是教材第二章最后一节，也是一个小节点，总结了矩阵的基本性质。另外本讲也引入了第三章的概念：线性空间。

置换矩阵(Permutations Matrix)

上一节说的

实际上并不完整，没有考虑行交换的情况，所以完整情况应该是：

.其中P就是置换矩阵，用P去乘以A相当于交换A的行。

其实上一节已经讲过了，就是把矩阵的行换掉那个矩阵P。记住P是正交矩阵，满足：

转置矩阵(Transposes Matrix)

这个不用说了吧：

。注意，对称矩阵满足：

。还有一点，对于任意一个矩阵

则

永远为对称矩阵，自己证明以下吧~(取

的转置即可)

向量空间(Vector spaces) 和子空间(Sub space)

向量的线性组合张成向量空间，一个具体的实例就是

，他就是全部的x-y平面，二维空间。

如果一个向量空间存在于另一个向量空间内，就称为为一个子空间。举例：对于

对于任意cV(c是任意实数)都是

的一个子空间(必须的嘛，cV是一条线，

是一个平面)。这里注意，任何子空间都要包含0向量，否则如果乘以系数为0的话就不满足子空间的定义了

的典型子空间： (自己是自己的子空间)

任何通过点

的线

0向量

的典型子空间： (自己是自己的子空间)

任何穿过原点的面

任何穿过原点的线

0向量

列空间(Coloum Space)

一个在

中的矩阵A，所有列的线性组合形成了列空间C(A). 例子：如果

，那么C(A)就是平面，这个平面通过

原点并且包含点

和

所组成的平面。换成人话说：就是这两个向量所张成的平面。Ax=b的所有解都落在C(A)里

习题

题1 a) 找到一个3x3置换矩阵P使得

答：找一个轮询置换的就好，第一行换第二行，第二行换第三行，第三行换第一行：

b)找到一个4x4置换矩阵P，使得

答：其实就是：

因为

所以

，

题2 设A是一个4x4矩阵， A中的每一个的元素可以有多少种可以选择：

a) A 是对称矩阵

答

共10种咯

b)A 是反对称矩阵(

)

答

共6种咯

题3 判断题:

a) 对称矩阵M的集合形成一个子空间

答真

b)反对称矩阵M的集合形成一个子空间

答真

c) 非对称矩阵M的集合形成一个子空间

答假

(两个非对称矩阵之和为一个对称矩阵)

题3 鞍点矩阵S是一个对称且重要的矩阵：

求S的LU分解

答：既然S是对称矩阵，那么分解为

(书上的拓展知识，需要去看书)，使用矩阵块消元可得：

完整答案：

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