【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )
文章目录
- 一. 相关概念
- 1. 简单 析取 合取 式
- ( 1 ) 简单合取式
- ( 2 ) 简单析取式
- 2. 极小项
- ( 1 ) 极小项 简介
- ( 2 ) 极小项 说明
- ( 3 ) 两个命题变项 的 极小项
- ( 4 ) 三个命题变项 的 极小项
- ( 5 ) 极小项 成真赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演
- 3. 极大项
- ( 1 ) 极大项 简介
- ( 2 ) 极大项 说明
- ( 3 ) 两个命题变项的极大项
- ( 4 ) 三个命题变项的极大项
- ( 5 ) 极大项 成假赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演
- 二. 题目解析
- 1. 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式
- 2. 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式
一. 相关概念
1. 简单 析取 合取 式
( 1 ) 简单合取式
简单合取式 :
- 1.组成 : 命题变元 ( ppp ) 或 命题变元否定式 ( ¬p\lnot p¬p ) ;
- 2.概念 : 有限个 命题变元 或其 否定式 组成的合取式 , 称为 简单合取式 ;
- 3.示例 :
- ① 单个命题变元 : ppp ;
- ② 单个命题变元否定式 : ¬p\lnot p¬p
- ③ 两个 命题变元 或其否定式 构成的合取式 : p∧¬qp \land \lnot qp∧¬q
- ④ 三个 命题变元 或其否定式 构成的合取式 : p∧q∧rp \land q \land rp∧q∧r
( 2 ) 简单析取式
简单析取式 :
- 1.组成 : 命题变元 ( ppp ) 或 命题变元否定式 ( ¬p\lnot p¬p ) ;
- 2.概念 : 有限个 命题变元 或其 否定式 组成的析取式 , 称为 简单析取式 ;
- 3.示例 :
- ① 单个命题变元 : ppp ;
- ② 单个命题变元否定式 : ¬p\lnot p¬p
- ③ 两个 命题变元 或其否定式 构成的析取式 : p∨¬qp \lor \lnot qp∨¬q
- ④ 三个 命题变元 或其否定式 构成的析取式 : p∨q∨rp \lor q \lor rp∨q∨r
2. 极小项
( 1 ) 极小项 简介
极小项 : 极小项 是 一种 简单合取式 ;
- 1.前提 ( 简单合取式 ) : 含有 nnn 个 命题变项 的 简单合取式 ;
- 2.命题变项出现次数 : 每个命题变项 均 以 文字 的 形式 在其中出现 , 且 仅出现 一次 ;
- 3.命题变项出现位置 : 第 iii ( 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n ) 个文字出现在 左起 第 iii 个位置 ;
- nnn 是指命题变项个数 ;
- 4.极小项总结 : 满足上述三个条件的 简单合取式 , 称为 极小项 ;
- 5.mim_imi 与 MiM_iMi 之间的关系 : ① ¬mi⟺Mi\lnot m_i \iff M_i¬mi⟺Mi ② ¬Mi⟺mi\lnot M_i \iff m_i¬Mi⟺mi
( 2 ) 极小项 说明
关于 极小项 的 说明 :
- 1.极小项个数 : nnn 个 命题变元 会 产生 2n2^n2n 个 极小项 ;
- 2.互不等值 : 2n2^n2n 个极小项 均 互不等值 ;
- 3.极小项 : mim_imi 表示 第 iii 个极小项 , 其中 iii 是该极小项 成真赋值 的 十进制表示 ;
- 4.极小项名称 : 第 iii 个极小项 , 称为 mim_imi ;
( 3 ) 两个命题变项 的 极小项
两个命题变项 p,qp, qp,q 的 极小项 :
- 1.先写出 极小项 名称 : 从 000 开始计数 , m0,m1,m2,m3m_0, m_1, m_2, m_3m0,m1,m2,m3 ;
- 2.然后写出成真赋值 : 0,1,2,30,1,2,30,1,2,3 对应的二进制形式 , 即 00,01,10,1100 , 01, 10, 1100,01,10,11 ;
- 3.最后写公式 ( 简单合取式 ) :
- ① 公式形式 : 公式是简单合取式 , p∧qp \land qp∧q , 其中 每个命题变项 p,qp,qp,q 之前都可能带着 否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ② 满足成真赋值 : 该公式需要满足 其 上述 00,01,10,1100 , 01, 10, 1100,01,10,11 赋值是成真赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
- ③ 分析 : 成真赋值 为 0,00,00,0 , 合取符号 ∧\land∧ 两边都要为 真 , 赋值为 0 , 那么 对应命题变项 要带上 ¬\lnot¬ 符号 ;
- ④ 对应 : 凡是 000 赋值的 , 带 ¬\lnot¬ 符号 ; 凡是 111 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;
| 公式 | 成真赋值 | 名称 |
|---|---|---|
| ¬p∧¬q\lnot p \land \lnot q¬p∧¬q | 000 \quad 000 | m0m_0m0 |
| ¬p∧q\lnot p \land q¬p∧q | 010 \quad 101 | m1m_1m1 |
| p∧¬qp \land \lnot qp∧¬q | 101 \quad 010 | m2m_2m2 |
| p∧qp \land qp∧q | 111 \quad 111 | m3m_3m3 |
( 4 ) 三个命题变项 的 极小项
三个命题变项 p,q,rp, q, rp,q,r 的 极小项 :
- 1.先写出 极小项 名称 : 从 000 开始计数 , m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7m_0, m_1, m_2, m_3, m_4, m_5, m_6, m_7m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7 ;
- 2.然后写出成真赋值 : 0,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7 对应的二进制形式 , 即 000,001,010,011,100,101,110,111000 , 001, 010, 011,100, 101, 110, 111000,001,010,011,100,101,110,111 ;
- 3.最后写公式 ( 简单合取式 ) :
- ① 公式形式 : 公式是简单合取式 , p∧q∧rp \land q \land rp∧q∧r , 其中 每个命题变项 p,q,rp,q,rp,q,r 之前都可能带着 否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ② 满足成真赋值 : 该公式需要满足 其 上述 000,001,010,011,100,101,110,111000 , 001, 010, 011,100, 101, 110, 111000,001,010,011,100,101,110,111 赋值是成真赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
- ③ 分析 : 成真赋值 为 0,0,00,0,00,0,0 , 三个命题变项都要为 真 , 赋值为 0 , 那么对应命题变项要带上 ¬\lnot¬ 符号 ;
- ④ 对应 : 凡是 000 赋值的 , 带 ¬\lnot¬ 符号 ; 凡是 111 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;
| 公式 | 成真赋值 | 名称 |
|---|---|---|
| ¬p∧¬q∧¬r\lnot p \land \lnot q \land \lnot r¬p∧¬q∧¬r | 0000 \quad 0 \quad 0000 | m0m_0m0 |
| ¬p∧¬q∧r\lnot p \land \lnot q \land r¬p∧¬q∧r | 0010 \quad 0 \quad 1001 | m1m_1m1 |
| ¬p∧q∧¬r\lnot p \land q \land \lnot r¬p∧q∧¬r | 0100 \quad 1 \quad 0010 | m2m_2m2 |
| ¬p∧q∧r\lnot p \land q \land r¬p∧q∧r | 0110 \quad 1 \quad 1011 | m3m_3m3 |
| p∧¬q∧¬rp \land \lnot q \land \lnot rp∧¬q∧¬r | 1001 \quad 0 \quad 0100 | m4m_4m4 |
| p∧¬q∧rp \land \lnot q \land rp∧¬q∧r | 1011 \quad 0 \quad 1101 | m5m_5m5 |
| p∧q∧¬rp \land q \land \lnot rp∧q∧¬r | 1101 \quad 1 \quad 0110 | m6m_6m6 |
| p∧q∧rp \land q \land rp∧q∧r | 1111 \quad 1 \quad 1111 | m7m_7m7 |
( 5 ) 极小项 成真赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演
极小项 成真赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演 :
- 1.成真赋值 到 公式 之间的推演 : 公式 的 成真赋值列出 , 就是成真赋值 ; 根据成真赋值 写出 公式 , 0 对应的 命题变项 带 否定 ¬\lnot¬ , 1 对应 正常的命题变项 ;
- 2.名称 到 成真赋值 之间的 推演 : 这个 最简单 , 直接将 下标 写成 二进制形式 即可 ;
- 3.公式 到 名称 之间的 推演 : 直接推演 比较困难 , 必须通过 成真赋值 过渡一下 , 先写出 成真赋值 , 然后将其当做 二进制数 转为 十进制的下标即可 ;
3. 极大项
( 1 ) 极大项 简介
极大项 : 极大项 是 一种 简单析取式 ;
- 1.前提 ( 简单析取式 ) : 含有 nnn 个 命题变项 的 简单析取式 ;
- 2.命题变项出现次数 : 每个命题变项 均 以 文字 的 形式 在其中出现 , 且 仅出现 一次 ;
- 3.命题变项出现位置 : 第 iii ( 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n ) 个文字出现在 左起 第 iii 个位置 ;
- nnn 是指命题变项个数 ;
- 4.极大项总结 : 满足上述三个条件的 简单析取式 , 称为 极大项 ;
( 2 ) 极大项 说明
关于 极大项 的 说明 :
- 1.极大项个数 : nnn 个 命题变元 会 产生 2n2^n2n 个 极大项 ;
- 2.互不等值 : 2n2^n2n 个极大项 均 互不等值 ;
- 3.极大项 : mim_imi 表示 第 iii 个极大项 , 其中 iii 是该极大项 成假赋值 的 十进制表示 ;
- 4.极大项名称 : 第 iii 个极大项 , 称为 MiM_iMi ;
- 5.mim_imi 与 MiM_iMi 之间的关系 : ① ¬mi⟺Mi\lnot m_i \iff M_i¬mi⟺Mi ② ¬Mi⟺mi\lnot M_i \iff m_i¬Mi⟺mi
( 3 ) 两个命题变项的极大项
两个命题变项 p,qp, qp,q 的 极大项 :
- 1.先写出 极大项 名称 : 从 000 开始计数 , M0,M1,M2,M3M_0, M_1, M_2, M_3M0,M1,M2,M3 ;
- 2.然后写出成假赋值 : 0,1,2,30,1,2,30,1,2,3 对应的二进制形式 , 即 00,01,10,1100 , 01, 10, 1100,01,10,11 ;
- 3.最后写公式 ( 简单析取式 ) :
- ① 公式形式 : 公式是简单析取式 , p∧qp \land qp∧q , 其中 每个命题变项 p,qp,qp,q 之前都可能带着 否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ② 满足成假赋值 : 该公式需要满足 其 上述 00,01,10,1100 , 01, 10, 1100,01,10,11 赋值是成假赋值 , 即根据成假赋值 , 反推出其公式 ;
- ③ 分析 : 成假赋值 为 0,00,00,0 , 合取符号 ∧\land∧ 两边都要为 假 , 赋值为 0 , 那么对应的命题变项是 正常的命题变项, 不带否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ④ 对应 : 凡是 111 赋值的 , 带 ¬\lnot¬ 符号 ; 凡是 000 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;
| 公式 | 成假赋值 | 名称 |
|---|---|---|
| p∨qp \lor qp∨q | 000 \quad 000 | M0M_0M0 |
| p∨¬qp \lor \lnot qp∨¬q | 010 \quad 101 | M1M_1M1 |
| ¬p∨q\lnot p \lor q¬p∨q | 101 \quad 010 | M2M_2M2 |
| ¬p∨¬q\lnot p \lor \lnot q¬p∨¬q | 111 \quad 111 | M3M_3M3 |
( 4 ) 三个命题变项的极大项
三个命题变项 p,q,rp, q, rp,q,r 的 极大项 :
- 1.先写出 极大项 名称 : 从 000 开始计数 , M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7M_0, M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6, M_7M0,M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7 ;
- 2.然后写出成假赋值 : 0,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7 对应的二进制形式 , 即 000,001,010,011,100,101,110,111000 , 001, 010, 011,100, 101, 110, 111000,001,010,011,100,101,110,111 ;
- 3.最后写公式 ( 简单析取式 ) :
- ① 公式形式 : 公式是简单析取式 , p∧q∧rp \land q \land rp∧q∧r , 其中 每个命题变项 p,q,rp,q,rp,q,r 之前 都 可能 带着 否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ② 满足成假赋值 : 该公式需要满足 其 上述 000,001,010,011,100,101,110,111000 , 001, 010, 011,100, 101, 110, 111000,001,010,011,100,101,110,111 赋值是成假赋值 , 即根据成真赋值 , 反推出其公式 ;
- ③ 分析 : 成假赋值 为 0,0,00,0,00,0,0 , 三个命题变项都要为 假 , 赋值为 0 , 那么对应命题变项 是正常的命题变项 , 不带否定符号 ¬\lnot¬ ;
- ④ 对应 : 凡是 111 赋值的 , 带 ¬\lnot¬ 符号 ; 凡是 000 赋值的 , 对应 正常 命题变项 ;
| 公式 | 成假赋值 | 名称 |
|---|---|---|
| p∨q∨rp \lor q \lor rp∨q∨r | 0000 \quad 0 \quad 0000 | M0M_0M0 |
| p∨q∨¬rp \lor q \lor \lnot rp∨q∨¬r | 0010 \quad 0 \quad 1001 | M1M_1M1 |
| p∨¬q∨rp \lor \lnot q \lor rp∨¬q∨r | 0100 \quad 1 \quad 0010 | M2M_2M2 |
| p∨¬q∨¬rp \lor \lnot q \lor \lnot rp∨¬q∨¬r | 0110 \quad 1 \quad 1011 | M3M_3M3 |
| ¬p∨q∨r\lnot p \lor q \lor r¬p∨q∨r | 1001 \quad 0 \quad 0100 | M4M_4M4 |
| ¬p∨q∨¬r\lnot p \lor q \lor \lnot r¬p∨q∨¬r | 1011 \quad 0 \quad 1101 | M5M_5M5 |
| ¬p∨¬q∨r\lnot p \lor \lnot q \lor r¬p∨¬q∨r | 1101 \quad 1 \quad 0110 | M6M_6M6 |
| ¬p∨¬q∨¬r\lnot p \lor \lnot q \lor \lnot r¬p∨¬q∨¬r | 1111 \quad 1 \quad 1111 | M7M_7M7 |
( 5 ) 极大项 成假赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演
极大项 成假赋值 公式 名称 之间 的 转化 与 推演 :
- 1.成假赋值 到 公式 之间的推演 : 公式 的 成假赋值列出 , 就是成假赋值 ; 根据成假赋值 写出 公式 , 111 对应的 命题变项 带 否定 ¬\lnot¬ , 000 对应 正常的命题变项 ;
- 2.名称 到 成假赋值 之间的 推演 : 这个 最简单 , 直接将 下标 写成 二进制形式 即可 ;
- 3.公式 到 名称 之间的 推演 : 直接推演 比较困难 , 必须通过 成假赋值 过渡一下 , 先写出 成假赋值 , 然后将其当做 二进制数 转为 十进制的下标即可 ;
二. 题目解析
1. 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式
题目 : 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式 ;
- 条件 : A=(p→¬q)→rA = (p \rightarrow \lnot q) \rightarrow rA=(p→¬q)→r
- 问题 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;
解答 :
① 步骤 一 : 求出一个合取范式 :
(p→¬q)→r(p \rightarrow \lnot q) \rightarrow r(p→¬q)→r
( 使用蕴涵等值式 : A→B⟺¬A∨BA \rightarrow B \iff \lnot A \lor BA→B⟺¬A∨B , 消除 外层的 蕴涵符号 )
⟺¬(p→¬q)∨r\iff \lnot (p \rightarrow \lnot q) \lor r⟺¬(p→¬q)∨r
( 使用蕴涵等值式 : A→B⟺¬A∨BA \rightarrow B \iff \lnot A \lor BA→B⟺¬A∨B , 消除内层的 蕴涵符号 )
⟺¬(¬p∨¬q)∨r\iff \lnot (\lnot p \lor \lnot q) \lor r⟺¬(¬p∨¬q)∨r
( 使用德摩根律 : ¬(A∨B)⟺¬A∧¬B\lnot (A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B¬(A∨B)⟺¬A∧¬B , 处理 ¬(¬p∨¬q)\lnot (\lnot p \lor \lnot q)¬(¬p∨¬q) 部分 )
⟺(p∧q)∨r\iff ( p \land q) \lor r⟺(p∧q)∨r
( 使用交换率 : A∨B⟺B∨AA \lor B \iff B \lor AA∨B⟺B∨A )
⟺r∨(p∧q)\iff r \lor ( p \land q)⟺r∨(p∧q)
( 使用分配率 : A∨(B∧C)⟺(A∨B)∧(A∨C)A \lor (B \land C) \iff (A \lor B) \land (A \lor C)A∨(B∧C)⟺(A∨B)∧(A∨C) )
⟺(r∨p)∧(r∨q)\iff (r \lor p) \land (r \lor q)⟺(r∨p)∧(r∨q)
( 使用交换率 : A∨B⟺B∨AA \lor B \iff B \lor AA∨B⟺B∨A )
⟺(p∨r)∧(q∨r)\iff (p \lor r) \land (q \lor r)⟺(p∨r)∧(q∨r)
当前状况分析 :
- 1> 合取范式 : 此时 , (p∨r)∧(q∨r)(p \lor r) \land (q \lor r)(p∨r)∧(q∨r) 是一个合取范式 , 根据该合取范式 求主合取 范式 ;
- 2> 拆分 : 分别将 (p∨r)(p \lor r)(p∨r) 和 (q∨r)(q \lor r)(q∨r) 转为 极大项 ;
② 步骤二 : 将 (p∨r)(p \lor r)(p∨r) 转为 主合取范式 :
(p∨r)(p \lor r)(p∨r)
( 使用 零律 : A∨0⟺AA \lor 0 \iff AA∨0⟺A , 析取式 , 析取一个 000 后 , 其值不变 )
⟺(p∨0∨r)\iff (p \lor 0 \lor r)⟺(p∨0∨r)
( 使用 矛盾律 : A∧A=0A \land A = 0A∧A=0 , 引入 命题变元 qqq , 即使用 A∧AA \land AA∧A 替换 式子中的 000 )
⟺(p∨(q∧¬q)∨r)\iff (p \lor ( q \land \lnot q ) \lor r)⟺(p∨(q∧¬q)∨r)
( 使用交换律 A∨B⟺B∨AA \lor B \iff B \lor AA∨B⟺B∨A 和 结合律 (A∨B)∨C⟺A∨(B∨C)(A \lor B) \lor C \iff A \lor (B \lor C)(A∨B)∨C⟺A∨(B∨C) )
⟺((p∨r)∨(q∧¬q))\iff ( ( p \lor r ) \lor ( q \land \lnot q ) )⟺((p∨r)∨(q∧¬q))
( 使用分配律 : A∨(B∧C)⟺(A∧B)∨(A∧C)A \lor (B \land C) \iff (A \land B) \lor (A \land C)A∨(B∧C)⟺(A∧B)∨(A∧C) , 将 p,q,rp,q,rp,q,r 都集合到一个析取式中 )
⟺(p∨r∨q)∧(p∨r∨¬q)\iff (p \lor r \lor q) \land (p \lor r \lor \lnot q)⟺(p∨r∨q)∧(p∨r∨¬q)
( 使用交换律 )
⟺(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)\iff (p \lor q \lor r) \land (p \lor \lnot q \lor r)⟺(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)
根据 极大项 公式 写出对应序号 :
- 1> (p∨q∨r)(p \lor q \lor r)(p∨q∨r) : 成假赋值 0000 \quad 0 \quad 0000 , 是极大项 M0M_0M0 ;
- 2> (p∨¬q∨r)(p \lor \lnot q \lor r)(p∨¬q∨r) : 成假赋值 0100 \quad 1 \quad 0010 , 是极大项 M2M_2M2 ;
- 3> (p∨r)(p \lor r)(p∨r) 对应的 主合取范式是 : (p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)⟺M0∧M2(p \lor q \lor r) \land (p \lor \lnot q \lor r) \iff M_0 \land M_2(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)⟺M0∧M2
③ 步骤三 : 将 (q∨r)(q \lor r)(q∨r) 转为 主合取范式 :
(q∨r)(q \lor r)(q∨r)
( 使用 零律 : A∨0⟺AA \lor 0 \iff AA∨0⟺A , 析取式 , 析取一个 000 后 , 其值不变 )
⟺(0∨q∨r)\iff (0 \lor q \lor r)⟺(0∨q∨r)
( 使用 矛盾律 : A∧A=0A \land A = 0A∧A=0 , 引入 命题变元 qqq , 即使用 A∧AA \land AA∧A 替换 式子中的 000 )
⟺((p∧¬p)∨q∨r)\iff (( p \land \lnot p ) \lor q \lor r)⟺((p∧¬p)∨q∨r)
( 使用分配律 : A∨(B∧C)⟺(A∧B)∨(A∧C)A \lor (B \land C) \iff (A \land B) \lor (A \land C)A∨(B∧C)⟺(A∧B)∨(A∧C) , 将 p,q,rp,q,rp,q,r 都集合到一个析取式中 )
⟺(p∨r∨q)∧(¬p∨r∨q)\iff (p \lor r \lor q) \land (\lnot p \lor r \lor q)⟺(p∨r∨q)∧(¬p∨r∨q)
根据 极大项 公式 写出对应序号 :
- 1> (p∨q∨r)(p \lor q \lor r)(p∨q∨r) : 成假赋值 0000 \quad 0 \quad 0000 , 是极大项 M0M_0M0 ;
- 2> (¬p∨q∨r)(\lnot p \lor q \lor r)(¬p∨q∨r) : 成假赋值 1001 \quad 0 \quad 0100 , 是极大项 M4M_4M4 ;
- 3> (p∨r)(p \lor r)(p∨r) 对应的 主合取范式是 : (p∨q∨r)∧(¬p∨q∨r)⟺M0∧M4(p \lor q \lor r) \land (\lnot p \lor q \lor r) \iff M_0 \land M_4(p∨q∨r)∧(¬p∨q∨r)⟺M0∧M4
该题目最终结果 :
(p→¬q)(p \rightarrow \lnot q)(p→¬q)
( 步骤一 的结论 )
⟺(p∨r)∧(q∨r)\iff (p \lor r) \land (q \lor r)⟺(p∨r)∧(q∨r)
( 将步骤二 和 步骤三 结果代入到上式中 )
⟺(M0∧M2)∧(M0∧M4)\iff (M_0 \land M_2) \land (M_0 \land M_4)⟺(M0∧M2)∧(M0∧M4)
( 根据结合律 可以消去括号 将 M0∧M0M_0 \land M_0M0∧M0 组合起来 )
⟺(M0∧M0)∧M2∧M4\iff ( M_0 \land M_0 ) \land M_2 \land M_4⟺(M0∧M0)∧M2∧M4
( 根据 幂等律 : A∧A⟺AA \land A \iff AA∧A⟺A , 可以消去 一个 M0M_0M0 )
⟺M0∧M2∧M4\iff M_0 \land M_2 \land M_4⟺M0∧M2∧M4
2. 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式
题目 : 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式 ;
- 条件 : A=(p→¬q)→rA = (p \rightarrow \lnot q) \rightarrow rA=(p→¬q)→r
- 问题 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;
解答 :
① 首先列出其真值表 ( 列的真值表越详细越好 , 算错好几次 )
| pqrp \quad q \quad rpqr | (¬q)(\lnot q)(¬q) | (p→¬q)(p \rightarrow \lnot q)(p→¬q) | A=(p→¬q)→rA=(p \rightarrow \lnot q) \rightarrow rA=(p→¬q)→r | 极小项 | 极大项 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0000 \quad 0 \quad 0000 | 111 | 111 | 000 | m0m_0m0 | M0M_0M0 |
| 0010 \quad 0 \quad 1001 | 111 | 111 | 111 | m1m_1m1 | M1M_1M1 |
| 0100 \quad 1 \quad 0010 | 000 | 111 | 000 | m2m_2m2 | M2M_2M2 |
| 0110 \quad 1 \quad 1011 | 000 | 111 | 111 | m3m_3m3 | M3M_3M3 |
| 1001 \quad 0 \quad 0100 | 111 | 111 | 000 | m4m_4m4 | M4M_4M4 |
| 1011 \quad 0 \quad 1101 | 111 | 111 | 111 | m5m_5m5 | M5M_5M5 |
| 1101 \quad 1 \quad 0110 | 000 | 000 | 111 | m6m_6m6 | M6M_6M6 |
| 1111 \quad 1 \quad 1111 | 000 | 000 | 111 | m7m_7m7 | M7M_7M7 |
② 真值表中 取值为 真 的项 对应的 极小项 mim_imi 构成 主析取范式 ;
m1∨m3∨m5∨m6∨m7m_1 \lor m_3 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7m1∨m3∨m5∨m6∨m7
③ 真值表中 取值为 假 的项 对应的 极大项 mim_imi 构成 主合取范式 ;
M0∧M2∧M4M_0 \land M_2 \land M_4M0∧M2∧M4
极小项 - 合取式 - 成真赋值 - 对应条件真值表中的 111 - 主析取范式 ( 多个合取式的析取式 )
极大项 - 析取式 - 成假赋值 - 对应条件真值表中的 000 - 主合取范式 ( 多个析取式的合取式 )
【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )相关推荐
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