一、等值演算

等值演算 :

等值式
基本等值式
等值演算置换规则

二、等值式

等值式概念 : A,BA , BA,B 是两个命题公式 , 如果 A↔BA \leftrightarrow BA↔B 是永真式 , 那么 A,BA,BA,B 两个命题公式是等值的 , 记做 A⇔BA \Leftrightarrow BA⇔B ;

等值式特点 : AAA 和 BBB 两个命题公式 , 可以互相代替 , 凡是出现 AAA 的地方都可以替换成 BBB , 凡是出现 BBB 的地方都可以替换成 AAA ;

证明 p→qp \to qp→q 与 ¬p∨q\lnot p \lor q¬p∨q 是等值式 ;

ppp	qqq	p→qp \to qp→q	¬p∨q\lnot p \lor q¬p∨q	(p→q)↔(¬p∨q)(p \to q) \leftrightarrow (\lnot p \lor q)(p→q)↔(¬p∨q)
000	000	111	111	111
000	111	111	111	111
111	000	000	000	111
111	111	111	111	111

写出两个命题公式的真值表 , 从而计算 (p→q)↔(¬p∨q)(p \to q) \leftrightarrow (\lnot p \lor q)(p→q)↔(¬p∨q) 的真值表 , 计算完成后发现其是永真式 , 根据定义 , 这两个命题公式是等价的 , (p→q)⇔(¬p∨q)(p \to q) \Leftrightarrow (\lnot p \lor q)(p→q)⇔(¬p∨q) ;

三、基本等值式

基本运算规律 :

1. 幂等律 : A⇔A∨AA \Leftrightarrow A \lor AA⇔A∨A , A⇔A∧AA \Leftrightarrow A \land AA⇔A∧A
2. 交换律 : A∨B⇔B∨AA \lor B \Leftrightarrow B \lor AA∨B⇔B∨A , A∧B⇔B∧AA \land B \Leftrightarrow B \land AA∧B⇔B∧A
3. 结合律 : (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A \lor B ) \lor C \Leftrightarrow A \lor (B \lor C)(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C) , (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)(A \land B ) \land C \Leftrightarrow A \land (B \land C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
4. 分配律 : A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A \lor (B \land C) \Leftrightarrow ( A \lor B ) \land ( A \lor C )A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) , A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A \land (B \lor C) \Leftrightarrow ( A \land B ) \lor ( A \land C )A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)

新运算规律 :

5. 德摩根律 : ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B\lnot ( A \lor B ) \Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B¬(A∨B)⇔¬A∧¬B , ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B\lnot ( A \land B ) \Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
- 有了与 ( ∧\land∧ ) 非 ( ¬\lnot¬ ) , 就可以表示或 ( ∨\lor∨ )
- 有了或 ( ∨\lor∨ ) 非 ( ¬\lnot¬ ) , 就可以表示与 ( ∧\land∧ )
6. 吸收率 :
- 前者将后者吸收了 : A∨(A∧B)⇔AA \lor ( A \land B ) \Leftrightarrow AA∨(A∧B)⇔A
- 后者将前者吸收了 : A∧(A∨B)⇔AA \land ( A \lor B ) \Leftrightarrow AA∧(A∨B)⇔A ;

0,10 , 10,1 相关的运算律 :

7. 零律 : A∨1⇔1A \lor 1 \Leftrightarrow 1A∨1⇔1 , A∧0⇔0A \land 0 \Leftrightarrow 0A∧0⇔0
- 111 是或运算的零元 , 000 是与运算的零元 ;
- 与零元进行运算结果是零元 ;
8. 同一律 : A∨0⇔AA \lor 0 \Leftrightarrow AA∨0⇔A , A∧1⇔AA \land 1 \Leftrightarrow AA∧1⇔A
- 000 是或运算的单位元 , 111 是与运算的单位元
- 与单位元进行运算结果是其本身
9. 排中律 : A∨¬A⇔1A \lor \lnot A \Leftrightarrow 1A∨¬A⇔1
10. 矛盾律 : A∧¬A⇔0A \land \lnot A \Leftrightarrow 0A∧¬A⇔0

对偶原理适用于上述运算律 , 将两边的 ∧,∨\land , \lor∧,∨ 互换 , 同时 0,10 ,10,1 互换 , 等价仍然成立 ;

等价蕴含运算规律 :

11. 双重否定率 : ¬¬A⇔A\lnot \lnot A \Leftrightarrow A¬¬A⇔A
12. 蕴涵等值式 : A→B⇔¬A∨BA \to B \Leftrightarrow \lnot A \lor BA→B⇔¬A∨B
- 替换蕴含联结词 : 蕴含联结词 →\to→ 不是必要的 , 使用 ¬,∨\lnot , \lor¬,∨ 两个联结词可以替换蕴含联结词 ;
13. 等价等值式 : A↔B⇔(A→B)∨(B→A)A \leftrightarrow B \Leftrightarrow ( A \to B ) \lor ( B \to A )A↔B⇔(A→B)∨(B→A)
- 双箭头 ( 等价联结词 ) 可以理解成重分必要条件
- A→BA \to BA→B ( 蕴含联结词 ) 理解成 AAA 是 BBB 的充分条件 , BBB 是 AAA 的必要条件
- B→AB \to AB→A ( 蕴含联结词 ) 理解成 BBB 是 AAA 的充分条件 , AAA 是 BBB 的必要条件
- 替换等价联结词 : 等价联结词 ↔\leftrightarrow↔ 不是必要的 , 使用 →,∨\to , \lor→,∨ 两个联结词可以替换等价联结词 ;
14. 等价否定等值式 : A↔B⇔¬A↔¬BA \leftrightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \leftrightarrow \lnot BA↔B⇔¬A↔¬B
15. 假言易位 ( 逆否命题 ) : A→B⇔¬B→¬AA \to B \Leftrightarrow \lnot B \to \lnot AA→B⇔¬B→¬A
- AAA 称为前件 , BBB 称为后件 ( 结论 ) ;
16. 归谬论 ( 反证法 ) : (A→B)∧(A→¬B)⇔¬A( A \to B ) \land ( A \to \lnot B ) \Leftrightarrow \lnot A(A→B)∧(A→¬B)⇔¬A
- 这是反证法的原理 , 由 AAA 推导出 BBB 和 ¬B\lnot B¬B , BBB 和 ¬B\lnot B¬B 是矛盾的 , 则 AAA 是错的 , ¬A\lnot A¬A 是对的 ;

四、基本运算

基本运算 :

等价等值式 : 等价联结词 ↔\leftrightarrow↔ 不是必要的 , 使用 →,∨\to , \lor→,∨ 两个联结词可以替换等价联结词 ;

蕴含等值式 : 蕴含联结词 →\to→ 不是必要的 , 使用 ¬,∨\lnot , \lor¬,∨ 两个联结词可以替换蕴含联结词 ;

德摩根律 :

有了与 ( ∧\land∧ ) 非 ( ¬\lnot¬ ) , 就可以表示或 ( ∨\lor∨ )
有了或 ( ∨\lor∨ ) 非 ( ¬\lnot¬ ) , 就可以表示与 ( ∧\land∧ )

因此得出结论 , 与非或者或非 ( 二选一 ) , 可以表示所有的命题 ;

五、等值演算

证明 p→(q→r)p \to ( q \to r )p→(q→r) 与 (p∧q)→r(p \land q) \to r(p∧q)→r 是等价的 ;

证明上述两个命题是等价的 , 有两种方法 :

一个是列出真值表
另外一个就是进行等值演算

p→(q→r)p \to ( q \to r )p→(q→r)

使用蕴含等值式 , 进行置换 : 将 q→rq \to rq→r 置换为 ¬q∨r\lnot q \lor r¬q∨r

⇔p→(¬q∨r)\Leftrightarrow p \to ( \lnot q \lor r )⇔p→(¬q∨r)

继续使用蕴含等值式 , 将外层的蕴含符号置换 :

⇔¬p∨(¬q∨r)\Leftrightarrow \lnot p \lor ( \lnot q \lor r )⇔¬p∨(¬q∨r)

使用结合律 , 将 p,qp, qp,q 结合在一起 :

⇔(¬p∨¬q)∨r\Leftrightarrow ( \lnot p \lor \lnot q ) \lor r⇔(¬p∨¬q)∨r

使用德摩根律 , 将 ¬\lnot¬ 提取到外面 :

⇔¬(p∧q)∨r\Leftrightarrow \lnot ( p \land q ) \lor r⇔¬(p∧q)∨r

使用蕴含等值式 , 进行置换 ;

⇔(p∧q)→r\Leftrightarrow (p \land q) \to r⇔(p∧q)→r

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