三维网格去噪算法（L0范数最小化，包含二维图像去噪）

参考文章(技术来源)：Mesh denoising via L0 minimization

上面参考文章提出了一种基于L0范数最小化的三角网格去噪算法。该思想由二维图像平滑引申而来，所以先从基于L0范数最小化的二维图像平滑的原理入手，来一步步讲解。

一. 基于L0范数最小化的二维图像平滑

1. 目的
(1) 去噪后得到的输出(out)图像尽可能接近原图(不要损失边缘，纹理等细节信息)；

(2) 图像平滑(去噪)。

2. 针对1的分析
(1) 衡量out图与原图的误差函数：

目标：最小化误差函数 —— minc|c−c∗|2minc|c−c∗|2min_c|c-c^*|^2

(2) 图像平滑
引入L0范数 —— 可理解为“集合的非零个数”

|▽c|0|▽c|0|\bigtriangledown c|_{0}：越大，图像细节纹理越清晰；越小，细节纹理越模糊。

目标：minc|▽c|0minc|▽c|0min_c|\bigtriangledown c|_{0} —— 使|▽c|0|▽c|0|\bigtriangledown c|_{0}尽量小，可实现图像平滑

注意：(1)与(2)是对立关系。

3. 本问题的目标函数
结合2中的(1)和(2)，形成了本问题的目标函数：
minc|c−c∗|2+|▽c|0minc|c−c∗|2+|▽c|0min_c|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0}
即最小化|c−c∗|2+|▽c|0|c−c∗|2+|▽c|0|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0}

4. 引入正则化参数λλ\lambda
目标函数中，(1)(2)两部分是对立的，|c−c∗|2|c−c∗|2|c-c^*|^2小(out图接近原图)，则|▽c|0|▽c|0|\bigtriangledown c|_{0}大。那么，如何找到最优解实现minc|c−c∗|2+|▽c|0minc|c−c∗|2+|▽c|0min_c|c-c^*|^2+|\bigtriangledown c|_{0} ?

我们来引入正则化参数(常量)λλ\lambda 来平衡(1)(2)两部分的比重，目标函数：
minc|c−c∗|2+λ|▽c|0minc|c−c∗|2+λ|▽c|0min_c|c-c^*|^2+\lambda|\bigtriangledown c|_{0}

λλ\lambda 大，则(2)最小化比重大，应尽量使|▽c|0|▽c|0|\bigtriangledown c|_{0}最小化；
λλ\lambda 小，则(1)最小化比重大，应尽量使|c−c∗|2|c−c∗|2|c-c^*|^2最小化；
所以λλ\lambda 能控制out图像的平滑程度。

5. 引入辅助变量δδ\delta
4中的目标函数存在无法凸优化问题，引入辅助变量δδ\delta ，目标函数：
minc,δ|c−c∗|2+β|▽c−δ|2+λ|δ|0minc,δ|c−c∗|2+β|▽c−δ|2+λ|δ|0min_{c,\delta }|c-c^*|^2+\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}

我想，引入(2)的目的是因为：我们要找目标函数的最优解，而L0范数(λ|▽c|0λ|▽c|0\lambda|\bigtriangledown c|_{0})不可导，使得全局最优问题成为一个NP(非确定性，数学难题)难问题。所以这里使用变量分裂法，分裂出(2)这个二次函数(因为二次函数都可以求导，得到其最小值)。

6. 开始优化

- 第1步：固定c优化δδ\delta ，即：minδβ|▽c−δ|2+λ|δ|0minδβ|▽c−δ|2+λ|δ|0min_\delta\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}

第2步：固定δδ\delta 优化c，即：minc|c−c∗|2+β|▽c−δ|2minc|c−c∗|2+β|▽c−δ|2min_c|c-c^*|^2+\beta \left | \triangledown c-\delta \right |^{2}
循环迭代以上两步，每次迭代中ββ\beta 乘以2(使(2)占得比重大，使得最终▽c≈δ▽c≈δ\triangledown c\approx\delta )。

二. 将以上思想应用于三角网格去噪

1. 目标函数
minp,δ|p−p∗|2+β| D(p)−δ|2+λ|δ|0minp,δ|p−p∗|2+β|D(p)−δ|2+λ|δ|0min_{p,\delta }|p-p^*|^2+\beta \left | \ D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}
分析：

关于D(e)：

但是当有角度接近0时，微分算子的权重会变成inf，因此文章又提出了一种优化后的微分算子表达式：

微分算子D(e)中的符号说明：

2. 引入正则化项R(p)
对于非均匀噪声网络，应用1中的目标函数模型得到结果：

所以在优化过程又加入了一个正则化项：R(p)=(p1−p2+p3−p4)2R(p)=(p1−p2+p3−p4)2R(p)=(p_{1}-p_{2}+p_{3}-p_{4})^{2}

于是目标函数变为：minp,δ|p−p∗|2+α|R(p)|2+β| D(p)−δ|2+λ|δ|0minp,δ|p−p∗|2+α|R(p)|2+β|D(p)−δ|2+λ|δ|0min_{p,\delta }|p-p^*|^2+\alpha\left | R(p) \right |^{2}+\beta \left | \ D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda|\delta|_{0}

3. 优化过程仍分为两步

第1步：固定p优化δδ\delta ，即：minδβ|D(p)−δ|2+λ|δ|0minδβ|D(p)−δ|2+λ|δ|0min_{\delta }\beta \left | D(p)-\delta \right |^{2}+\lambda \left | \delta \right |_{0}

有一个限定条件：$\sqrt{\frac{\lambda }{\beta }}>D_{i},\delta
第2步：固定δδ\delta 优化p，即：minp|p−p∗|2+α|R(p)|2+β|D(p)−δ|2minp|p−p∗|2+α|R(p)|2+β|D(p)−δ|2min_{p}\left | p-p^{*} \right |^{2}+\alpha \left | R(p) \right |^{2}+\beta \left | D(p)-\delta \right |^{2}
相当于求解稀疏矩阵方程组
然后循环迭代上述2个步骤直到达到预定条件。
- 开始β=10−3β=10−3\beta=10^{-3}，每次β→μββ→μβ\beta \rightarrow \mu \beta ，μμ\mu越大棱角越分明，直到β≥103β≥103\beta \geq 10^{3}
- α→12αα→12α\alpha \rightarrow \frac{1}{2}\alpha