概率论与数理统计 | (3) 随机变量

1. 随机变量

2. 离散型随机变量

3. 分布函数

4. 连续型随机变量及其概率密度

5. 均匀分布和指数分布

6. 正态分布

7. 随机变量函数的分布

1. 随机变量

两类试验结果

中心问题：将试验结果数量化。

随机变量定义

设随机试验的样本空间为S，若X = X(e)为定义在S上的实值单值函数,则成X(e)为随机变量，简写为X。

说明：

1）随机变量X (e) : S -> R 为一映射,其自变量具有随机性;

2）随机事件可以表示为 $A = \{e:X(e) \in I\} = {X \in I},I\subset R$

如：将一枚均匀的硬币抛掷3次, 样本空间为

3）对于 $i \neq j$ ,则必有 ${X=i} \cap {X=j} = \varnothing$

4) 一般用大写英文字母X,Y,Z或希腊字母 $\xi,\eta$ 等来表示随机变量

随机变量类型

1）离散型随机变量

2）连续型随机变量

离散型随机变量定义

若随机变量X的取值为有限个或可数个, 则称X为离散型随机变量。

可数集(也称为可列集): 是指能与自然数集N建立一一对应的集合.即其中的元素都是可以被数到的。

不可数集：是无穷集合中的一种.一个无穷集合和自然数集合之间如果不存在一一对应关系, 那么它就是一个不可数集。

离散型随机变量的概率分布率/分布率

分布率的内容：随机变量的所有可能取值；取每个可能取值时对应的概率

分布率的性质： $p_k \geq 0,\sum_{k=1}^{+\infty}p_k = 1$

分布率的另一种表示形式： $P(X = x_k) = p_k ,k=1,2,...$

例题

2. 离散型随机变量

0-1分布

定义：

应用：

一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A) = p(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否，就可以定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量：

来描述这个随机试验的结果.只有两个可能结果的试验, 称为贝努利(Bernoulli)试验，故两点分布有时也称为贝努利分布.

1）检查产品的质量是否合格

2）对新生儿的性别进行登记

3）检验种子是否发芽

4）考试是否通过

5）求婚是否成功

6）马路乱停车是否会受罚

二项分布

考察：

马路乱停车9次, 若每次不被罚的概率为0.4,求9次中有2次不被罚的概率（假设每次是否被罚相互独立）： $C_{9}^20.4^20.6^7$

某人注册了6门MOOC课程, 若已知每门课的通过率为80%,假设每门课之间是独立的, 求他通过5门的概率: $C_6^10.8^50.2$

设试验E只有两个可能的结果: $A,\bar{A}$ ,且P(A) = p, 0<0<1.将E独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验.

我们想了解n重伯努利试验中结果A发生的次数的统计规律。

定义：

设X表示 n重贝努利试验中结果A发生的次数, 则X的可能取值为0,1,..., n, $P(X=k) = C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}$ .

若X的概率分布律为 $P(X=k) = C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}$ ,k=0,1,...,n,其中 $n \geq 1,0<p<1$ ,就称X服从参数为n,p的二项分布(Binomial),记为X~B(n,p).

泊松分布

定义：

用途：

1）某人一天内收到的微信的数量

2）来到某公交站的乘客

3）某放射性物质发射出的粒子

4）显微镜下某区域中的白血球

如果某事件以固定强度λ,随机且独立地出现，该事件在单位时间内出现的次数(个数)可以看成是服从泊松分布.

即当 n>10,p<0.1时，二项分布B(n,p)可以用泊松分布 $\pi(np)$ 来近似。

几何分布

若X的概率分布律为 $P(X=k) = p(1-p)^{k-1},k=1,2,3...$ ,其中0<p<1,称X服从参数为p的几何分布，记为X~Geom(p).

用途：

在重复多次的贝努里试验中, 试验进行到某种结果出现第一次为止, 此时的试验总次数服从几何分布. 如:射击,首次击中目标时射击的次数;上一小节的例2.

3. 分布函数

定义

随机变量X ,对任意实数x,称函数 $F(x) = P\{X \leq x\}$ ,为 X 的概率分布函数，简称分布函数.

任何随机变量都有相应的分布函数。

F(x)的几何意义：

用途

可以给出随机变量落入任意一个范围的可能性。

b-0 可以看作是比b小一丁点的数。

一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数。

设离散型随机变量X的分布律为 $P\{X=x_k \} = p_k,k=1,2,...$ ; X的分布函数 $F(x) = \sum_{x_k\leq x}p_k$ .

F(x) 在 $x = x_k(k=1,2,...)$ 处有跳跃，其跳跃值为 $p_k = P\{X=x_k\}$

性质

4. 连续型随机变量及其概率密度

定义

对于随机变量X的分布函数 F(x), 若存在非负的函数f(x), 使对于任意实数 x 有:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$

则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度函数, 简称概率密度. 有时也写为 $f_X(x)$ .

f(x)的性质

1） $f(x) \geq 0$

2） $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$

例题

5. 均匀分布和指数分布

均匀分布

定义：

若X的概率密度函数为：

其中a < b,就称X服从(a,b)上的均匀分布(Uniform),记为X~U(a,b)/Unif(a,b).

性质：均匀分布具有等可能性。

直观理解：

均匀分布的概率计算：

指数分布

定义：

性质：指数分布具有无记忆性

例题：

用途：

1）指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等;

2）在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短也可用指数分布来近似;

3）无记忆性的现象(连续时).

6. 正态分布

定义

两个参数的含义

1）当固定 $\sigma$ , 改变 $\mu$ 的大小时 , f ( x ) 图形的形状不变,只是沿着 x 轴作平移变换; $\mu$ 称为位置参数 (决定对称轴位置).

2）当固定 $\mu$ ,改变 $\sigma$ 的大小时, f(x)图形的对称轴不变,而形状在改变, $\sigma$ 越小,图形越高越瘦, $\sigma$ 越大,图形越矮越胖. $\sigma$ 称为尺度参数 (决定曲线分散程度).

用途

1）自然界和人类社会中很多现象可以看做正态分布：

如: 人的生理尺寸(身高、体重);医学检验指标(红细胞数、血小板);测量误差;等等

2）多个随机变量的和可以用正态分布来近似：

如：注册MOOC的某位同学完成所有作业的时间；二项分布; 等等(By 中心极限定理)

正态分布的概率计算

积分计算方法：

1）用EXCEL、MATLAB、R等软件来计算；

2）用数值积分法;

3）转化为标准正态, 然后利用标准正态分布表来求（查表）。

标准正态分布

性质

例题

7. 随机变量函数的分布

问题

要得到一个圆的面积Y, 总是测量其半径, 半径的测量值可看作随机变量X,若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,则 $Y = \pi X^2$ 的分布是什么?

若体重W(kg)均服从正态分布，在身高L(m)确定的情形下，则体质指标 $BMI = W/L^2$ 服从什么分布？

已知随机变量X的分布，Y=g(X)，函数g已知，求Y的分布。

例题

一般，若已知X的概率分布, Y=g(X),求Y的概率分布的过程为: 先给出Y的可能取值; 再利用等价事件来给出概率分布.

1)若X为离散型随机变量, 则先写出Y的可能取值: $y_1,y_2,...,y_j,...$ ;再找出 $P\{Y=y_j\}$ 的等价事件 $\{X \in D \}$ ,得到 $P\{Y=y_j\} = P\{X \in D\}$

2)若X为连续型随机变量, 先根据X的取值范围, 给出Y的取值范围;然后写出Y的概率分布函数: $F_Y(y) = P\{Y \leq y\}$ ,找出 $P\{Y\leq y\}$ 的等价事件 $\{X \in D \}$ ,得到 $F_Y(y) = P(x \in D)$ ;再求出Y的概率密度函数 $f_Y(y)$ .

定理

一般地，若随机变量 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ,若Y=aX+b，则 $Y \sim N(a\mu + b,a^2\sigma^2)$ .