概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布

文章目录

概率论与数理统计(3):二维随机变量及其分布
- 一.多维随机变量
- - 定义：
- 二.二维随机变量及其分布函数
- - 1.联合分布函数
  - - ①定义
    - ②性质
    - (1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的，即：
    - (2)连续性
    - (3）
    - - 解释
    - (4）
- 三.二维离散型随机变量
- - 1.联合分布列
  - - ①定义
    - ②性质
  - 2.分布函数
  - 3.边缘分布列
  - - ==从分布函数角度理解边缘分布列：==
- 四.二维连续型随机变量
- - 1.联合概率密度
  - - ①定义
    - ②性质
  - 2.边缘概率密度
  - - ==从分布函数角度理解:==
  - 3.均匀分布
  - 4.正态分布
- 五.条件分布
- - 1.离散型随机变量
  - 2.连续型随机变量
- 六.随机变量的独立性
- - 1.定义
  - 2.判断方法
  - - （1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积
    - （2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积
    - （3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积
  - 3.定理
- 七.二维随机变量函数的分布
- - 1.离散型随机变量函数的分布： Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y
  - - 一些结论
  - 2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y}和 min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布
  - - 推广
  - 3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y
  - - 分布函数法：
  - 4.瑞利分布

一.多维随机变量

定义：

若 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω)是样本空间 Ω \Omega Ω={ ω \omega ω}上的随机变量，则( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , . . . X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega),...X_n(\omega) X1(ω),X2(ω),...Xn(ω))构成 Ω \Omega Ω上的n维随机变量，简记为：
X = ( X 1 , X 2 , . . . X n ) X=(X_1,X_2,...X_n) X=(X1,X2,...Xn)

二.二维随机变量及其分布函数

设E是一个随机试验，S={e}为其样本空间，设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)和 Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机变量（或二位随机向量）

1.联合分布函数

①定义

设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量， x , y x,y x,y为任意实数，称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数，or X X X和 Y Y Y的联合分布函数

注： F ( x , y ) \\F(x,y) F(x,y)表示事件 { X ≤ x } \left\{X\leq x\right\} {X≤x}和 { Y ≤ y } \left\{Y\leq y\right\} {Y≤y}同时发生的概率(其实就是把 P { ( X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\} P{(X⩽x)⋂(Y⩽y)}记成了 P { X ≤ x , Y ≤ y } P\left\{X\leq x,Y\leq y\right\} P{X≤x,Y≤y})

为什么要研究联合分布呢？因为二位随机变量(X,Y)的性质不仅分别与X和Y有关，也与X与Y之间的相互关系有关，所以单独逐个研究X与Y是不够的，还需要将 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体进行研究

②性质

(1) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对x和y都是单调不减的，即：

(Ⅰ)固定 x x x,当 y 1 < y 2 y_1<y_2 y1<y2时， F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F(x,y_1)\leqslant F(x,y_2) F(x,y1)⩽F(x,y2)

(Ⅱ)固定 y y y,当 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2时， F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) F(x_1,y)\leqslant F(x_2,y) F(x1,y)⩽F(x2,y)

(2)连续性

F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x右连续，即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) F(x,y)=F(x+0,y) F(x,y)=F(x+0,y)

F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 y y y右连续，即 F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) F(x,y)=F(x,y+0) F(x,y)=F(x,y+0)

(3）

随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在矩形区域 ( x 1 , x 2 ] × ( y 1 , y 2 ] (x_1,x_2]×(y_1,y_2] (x1,x2]×(y1,y2]内的概率为
P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\left\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\right\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)

解释

若将二维随机变量(X,Y)看成平面上的随机点的坐标，那么 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)在 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的函数值就是随机点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在以点 ( x , y ) (x,y) (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率，如图紫色区域，设 A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)

(4）

0 ⩽ F ( x , y ) ⩽ 1 , 且 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 0\leqslant F(x,y) \leqslant 1,且F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1 0⩽F(x,y)⩽1,且F(−∞,y)=F(x,−∞)=F(−∞,−∞)=0,F(+∞,+∞)=1

几何解释

如（3）中图所示，无穷矩形的右面边界向左无限平移 ( x → − ∞ ) (x→-∞) (x→−∞)，则“随机点(X,Y)落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，所以其概率趋于0，即有 F ( − ∞ ， y ) = 0 F(-∞，y)=0 F(−∞，y)=0

当 x → ∞ ， y → ∞ x→∞，y→∞ x→∞，y→∞时，图中无穷矩形扩展到全平面，随机点(X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于1，即 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+∞,+∞)=1 F(+∞,+∞)=1

三.二维离散型随机变量

1.联合分布列

①定义

如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的所有可能取值是有限个或可数个，称(X，Y)为二维离散型随机变量， P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布列,or X X X与 Y Y Y的联合分布列（也可用表格表示）

②性质

（1） p i j ⩾ 0 , i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}\geqslant0,\quad i,j=1,2,... pij⩾0,i,j=1,2,...

（2） ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=1 i=1∑∞j=1∑∞pij=1

2.分布函数

F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P { X = x i , Y = y j } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=xi≤x∑yj≤y∑P{X=xi,Y=yj}=xi≤x∑yj≤y∑pij

3.边缘分布列

设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量，分布列为
P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,... P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,...
(1)关于 X X X的边缘分布列为
P { X = x i } = ∑ j p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_jp_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j∑pij=pi.,i=1,2,...
(2)关于 Y Y Y的边缘分布列为
P { Y = y j } = ∑ i p i j = p . j , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j\}=\sum_ip_{ij}=p_{.j},\quad j=1,2,... P{Y=yj}=i∑pij=p.j,j=1,2,...

注：（1）边缘分布列具有一维分布列的性质

（2）联合分布列唯一决定边缘分布列

从分布函数角度理解边缘分布列：

( X , Y ) (X,Y) (X,Y)作为整体，具有分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)，而 X X X和 Y Y Y都是随机变量，各自也有分布函数，分别记为 F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX(x),FY(y),依次为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和关于 Y Y Y的边缘分布函数，边缘分布函数可以由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)确定

F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y < ∞ } = F ( x , ∞ ) F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y< \infty\}=F(x,\infty) FX(x)=P{X⩽x}=P{X⩽x,Y<∞}=F(x,∞),即 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∑ x i ⩽ x ∑ j = 1 ∞ p i j F_X(x)=F(x,\infty)=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=F(x,∞)=xi⩽x∑j=1∑∞pij

所以关于 X X X的边缘分布列也可以写为
P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j = p i . , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i.},\quad i=1,2,... P{X=xi}=j=1∑∞pij=pi.,i=1,2,...
Y Y Y同理

四.二维连续型随机变量

1.联合概率密度

①定义

如果对于 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),若存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),对于任意实数 x , y , x,y, x,y,有：
F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv
则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量，函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度，或称 X 与 Y X与Y X与Y的联合概率密度

②性质

（1） f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq 0 f(x,y)≥0

（2） ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 = F ( + ∞ , + ∞ ) \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1=F(+\infty,+\infty) ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1=F(+∞,+∞)

（3）设G是xOy面上一区域，点 ( X , Y ) \\(X,Y) (X,Y)落入G内的概率为
P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ ( x , y ) ∈ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈G\}=\iint\limits_{(x,y)∈G}f(x,y)dxdy P{(X,Y)∈G}=(x,y)∈G∬f(x,y)dxdy

2.边缘概率密度

关于X的边缘概率密度： f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy
关于Y的边缘概率密度： f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \\f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx

从分布函数角度理解:

F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y ] d x F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy]dx FX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x[∫−∞+∞f(x,y)dy]dx

易看出，X的概率密度为中括号里的表达式，即： f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \\f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy

3.均匀分布

设G是平面上的有界区域，其面积为S_G,若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为
f ( x , y ) = { 1 S G , ( x , y ) ∈ G 0 , o t h e r w i s e f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{S_G}, \qquad (x,y)∈G \\ 0,\quad \qquad otherwise\\ \end{array} \right. f(x,y)={SG1,(x,y)∈G0,otherwise
则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在G上服从均匀分布

设 G ′ G' G′是区域 G G G上的任一子区域，面积为 S G ′ S_{G'} SG′，则 P { ( X , Y ) ∈ G ′ } = S G ′ S G P\{(X,Y)∈G'\}=\frac{S_{G'}}{S_G} P{(X,Y)∈G′}=SGSG′

4.正态分布

(也叫高斯分布)

用python生成二维正态分布的概率密度示意图如图所示：

五.条件分布

对于两个事件，可以讨论它们的条件概率；对于两个随机变量，则可以讨论它们的条件分布

1.离散型随机变量

随机变量 X X X在条件 Y = y j Y=y_j Y=yj下的条件分布列：
P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},\quad i=1,2,... P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj},i=1,2,...
随机变量 Y Y Y在条件 X = x i X=x_i X=xi下的条件分布列：
P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } , j = 1 , 2 , . . . P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},\quad j=1,2,... P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi}P{X=xi,Y=yj},j=1,2,...
条件分布列也是分布列，满足分布列的性质

2.连续型随机变量

（1）在 Y = y Y=y Y=y条件下，

X X X的条件概率密度
f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y{(y)}} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
X X X的条件分布函数
F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u F_{X|Y}(x|y)=\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(u|y)du FX∣Y(x∣y)=∫−∞xfX∣Y(u∣y)du
（2）在 X = x X=x X=x条件下，

Y Y Y的条件概率密度
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{(x)}} fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)
Y Y Y的条件分布函数
F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v F_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}f_{Y|X}(v|x)dv FY∣X(y∣x)=∫−∞yfY∣X(v∣x)dv

六.随机变量的独立性

随机变量的独立性可借助事件的独立性引出

设 X , Y X,Y X,Y为两个随机变量，对于任意的实数 x , y , “ X ⩽ x " x,y,“X\leqslant x" x,y,“X⩽x"和 “ Y ⩽ y " “Y\leqslant y" “Y⩽y"为两个事件，根据事件的独立性定义， “ X ⩽ x " , “ Y ⩽ y " “X\leqslant x",“Y\leqslant y" “X⩽x",“Y⩽y"相互独立，相当于式
P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = P { X ⩽ x } P { Y ⩽ y } P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X \leqslant x\}P\{Y \leqslant y\} P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}P{Y⩽y}
成立，或写为
F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)

1.定义

” X ⩽ x X\leqslant x X⩽x“和“ Y ⩽ y Y\leqslant y Y⩽y”相互独立
⟺ P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⟺ F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) \iff P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) ⟺P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}⟺F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)

2.判断方法

（1）联合分布函数=边缘分布函数的乘积

F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)

（2）离散型：联合分布列=边缘分布列的乘积

P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}⋅P{Y=yj}

（3）连续型：联合概率密度=边缘概率密度的乘积

f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)

3.定理

设随机变量 X X X与 Y Y Y相互独立， g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)是连续函数，则随机变量函数 g ( x ) , h ( y ) g(x),h(y) g(x),h(y)也相互独立

七.二维随机变量函数的分布

1.离散型随机变量函数的分布： Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

设 X , Y X,Y X,Y是离散型随机变量，则随机变量 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布列为
P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i , Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i,Y=m-i\} P{X+Y=m}=i∑P{X=i,Y=m−i}
若 X , Y X,Y X,Y相互独立，则
P { X + Y = m } = ∑ i P { X = i } P { Y = m − i } P\{X+Y=m\}=\sum_{i}P\{X=i\}P\{Y=m-i\} P{X+Y=m}=i∑P{X=i}P{Y=m−i}

证明：

事件 X + Y = m X+Y=m X+Y=m是互不相容事件 A k = { X = k , Y = m − k } A_k=\{X=k,Y=m-k\} Ak={X=k,Y=m−k}的和事件，而 P ( A k ) = P { X = k , Y = m − k } P(A_k)=P\{X=k,Y=m-k\} P(Ak)=P{X=k,Y=m−k},由此可得
P { X + Y = m } = ∑ P ( A k ) = ∑ k + l = m P { X = k , Y = l } P\{X+Y=m\}=\sum P(A_k)=\sum_{k+l=m}P\{X=k,Y=l\} P{X+Y=m}=∑P(Ak)=k+l=m∑P{X=k,Y=l}

一些结论

①若 X , Y X,Y X,Y相互独立， X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) X∼P(λ1),Y∼P(λ2),则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) X+Y∼P(λ1+λ2)

两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量，且其参数等于相应的随机变量分布参数的和

②若 X 1 , X 2 X_1,X_2 X1,X2相互独立， X 1 ∼ B ( n 1 , p ) , X 2 ∼ B ( n 2 , p ) X_1\sim B(n_1,p),X_2\sim B(n_2,p) X1∼B(n1,p),X2∼B(n2,p),则 X = X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) X=X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p) X=X1+X2∼B(n1+n2,p)

2. max ⁡ { X , Y } \max\{X,Y\} max{X,Y}和 min ⁡ { X , Y } \min\{X,Y\} min{X,Y}的分布

设 X , Y X,Y X,Y相互独立，分布函数分别为 F X ( x ) F_X(x) FX(x)和 F Y ( y ) F_Y(y) FY(y),则：

Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y}的分布函数为：
F max ⁡ ( z ) = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{\max}(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)⋅FY(z)

证明：
F m a x ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m a x { X , Y } ⩽ z } F_{max}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{max\{X,Y\}\leqslant z\} Fmax(z)=P{Z⩽z}=P{max{X,Y}⩽z}
又因为 Z ⩽ z Z\leqslant z Z⩽z 等价于 X , Y X,Y X,Y均 ⩽ z \leqslant z ⩽z，所以
F m a x ( z ) = P { X ⩽ z , Y ⩽ z } = P { X ⩽ z } P { Y ⩽ z } = F X ( z ) ⋅ F Y ( z ) F_{max}(z)=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z) Fmax(z)=P{X⩽z,Y⩽z}=P{X⩽z}P{Y⩽z}=FX(z)⋅FY(z)

Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y}的分布函数为：
F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmin(z)=1−[1−FX(z)]⋅[1−FY(z)]

证明：
F m i n ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { m i n { X , Y } ⩽ z } = 1 − P { m i n { X , Y } > z } F_{min}(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{min\{X,Y\}\leqslant z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\} Fmin(z)=P{Z⩽z}=P{min{X,Y}⩽z}=1−P{min{X,Y}>z}
又因为 Z > z Z>z Z>z等价于 X , Y X,Y X,Y均 > z > z >z，所以
F m a x ( z ) = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − [ 1 − P { X ⩽ z } ] [ 1 − P { Y ⩽ z } ] = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( z ) ] F_{max}(z)=1-P\{X> z,Y> z\}=1-P\{X> z\}P\{Y> z\}\\=1-[1-P\{X\leqslant z\}][1-P\{Y\leqslant z\}]\\=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)] Fmax(z)=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}P{Y>z}=1−[1−P{X⩽z}][1−P{Y⩽z}]=1−[1−FX(z)]⋅[1−FY(z)]

推广

设随机变量 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立，分布函数分别为 F X 1 ( x 1 ) F_{X_1}(x_1) FX1(x1)和 F X 2 ( x 2 ) , . . . , F X n ( x n ) F_{X_2}(x_2),...,F_{X_n}(x_n) FX2(x2),...,FXn(xn),则：

max ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \max\{X_1,X_2,...,X_n\} max{X1,X2,...,Xn}的分布函数为：
F max ⁡ ( z ) = F X 1 ( z ) ⋅ F X 2 ( z ) . . . F X n ( z ) F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)⋅FX2(z)...FXn(z)
min ⁡ { X 1 , X 2 , . . . , X n } \min\{X_1,X_2,...,X_n\} min{X1,X2,...,Xn}的分布函数为：
F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] ⋅ [ 1 − F X 2 ( z ) ] . . . [ 1 − F X n ( z ) ] F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]...[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1−[1−FX1(z)]⋅[1−FX2(z)]...[1−FXn(z)]
若 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的分布函数 F ( z ) F(z) F(z)，则
F max ⁡ ( z ) = [ F ( z ) ] n ， F min ⁡ ( z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{\max}(z)=[F(z)]^n，\qquad F_{\min}(z)=1-[1-F(z)]^n Fmax(z)=[F(z)]n，Fmin(z)=1−[1−F(z)]n

3.连续型随机变量函数的分布: Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

分布函数法：

设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的概率密度
F Z ( z ) = P { Z ⩽ z } = P { g ( X , Y ) ⩽ z } = ∬ g ( x , y ) ⩽ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\}=\iint\limits_{g(x,y)\leqslant z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Z⩽z}=P{g(X,Y)⩽z}=g(x,y)⩽z∬f(x,y)dxdy
f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F'_Z(z) fZ(z)=FZ′(z)

4.瑞利分布

瑞利分布：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布