文章目录

问题背景
系统模型
PCS-HP设计的分析
PCS-HP的分阶段设计
- 模拟precoding的设计
- - 情况一
  - 情况二
结论
相关阅读

《Hybrid Precoding for mmWave Massive MIMO Systems With Partially Connected Structure》
文章地址：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=7959156

问题背景

关于混合波束成形的背景可以参照混合波束成形的系列专栏博文：https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/89810132 不做赘述。主要介绍部分连接结构。通常，在混合波束赋形中有两种结构（如下图所示）：一种是全连接结构（FCS），它每一条射频链（RF）都与所有的天线连接，另一种是部分连接结构（PCS），它每一条射频链是与一个子阵列连接。很明显，对于昂贵的毫米波器件来说，部分连接结构更具有实际的应用价值，它降低了硬件实现的复杂度。
正是由于部分连接结构的特殊性，使得模拟波束赋形多了一个硬件约束Frf=[v‾10…00v‾20⋮⋱⋮00…v‾Nt]Mt×Nt\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}=\left[\begin{array}{cccc}{\overline{\mathbf{v}}_{1}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\overline{\mathbf{v}}_{2}} & {} & {\mathbf{0}} \\ {\vdots} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\overline{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}}Frf=⎣⎢⎢⎢⎡v10⋮00v20…⋱…00⋮vNt⎦⎥⎥⎥⎤Mt×Nt
上帝为你关上一扇窗的时候，同时也会打开另一扇窗。正是由于这个约束的特殊性，得到有一个非常好用的性质
FrfHFrf=MI{\bf{F}}_{{\rm{rf}}}^{\rm{H}}{{\bf{F}}_{{\rm{rf}}}} = M{\bf{I}}FrfHFrf=MI
后面混合预编码的设计也是围绕这个限制条件展开的。

系统模型

考虑一个单用户下行链路采用部分连接结构的mmWave massive MIMO系统。基站端（BS）配置有MtM_{\mathrm{t}}Mt根天线和NtN_{\mathrm{t}}Nt个独立的射频链。每个射频链分别连接一个包含MMM根天线的子阵列，且Mt=MNtM_{\mathrm{t}}=M N_{\mathrm{t}}Mt=MNt。从基站到移动台（MS）有NsN_{\mathrm{s}}Ns个数据流被传输。在基带，数据流由一个数字预编码器Fdig∈CNt×Ns\mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}Fdig∈CNt×Ns进行预编码，然后在模拟域尾随一个模拟预编码器Frf∈CMt×Nt\mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}}Frf∈CMt×Nt。经过模拟预编码后，每个数据流通过相关的子阵列进行传输。一般地，接收信号可以表示为：
y=PrHFrfFdigs+n\mathbf{y}=\sqrt{P_{\mathrm{r}}} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{s}+\mathbf{n}y=PrHFrfFdigs+n其中y∈CMr×1\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{M_{r} \times 1}y∈CMr×1是接收信号，MrM_{\mathrm{r}}Mr是接收端配置天线的数目，PrP_{\mathrm{r}}Pr表示平均接收能量，H∈CMr×Mt\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{r}} \times M_{\mathrm{t}}}H∈CMr×Mt表示信道矩阵，满足E[∥H∥F2]=MrMt\mathbb{E}\left[\|\mathbf{H}\|_{F}^{2}\right]=M_{\mathrm{r}} M_{\mathrm{t}}E[∥H∥F2]=MrMt，s∈CNs×1\mathbf{s} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{s}} \times 1}s∈CNs×1表示满足E[ssH]=1NSINs\mathbb{E}\left[\mathbf{s} \mathbf{s}^{H}\right]=\frac{1}{N_{\mathrm{S}}} \mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}E[ssH]=NS1INs的传输信号，n\mathbf{n}n是服从独立同分布CN(0,σn2)\mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{n}^{2}\right)CN(0,σn2)的噪声向量。
本文关注在BS端的Hybrid Precoding(HP)，假设在MS端是完美decoding，然后通过高斯信号实现的数据速率可以简化为信道的互信息，其表示为：
R(F)=log⁡2∣IMr+PrNsσ2HFFHHH∣R(\mathbf{F})=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}} \mathbf{H} \mathbf{F} \mathbf{F}^{H} \mathbf{H}^{H}\right|R(F)=log2∣∣∣∣IMr+Nsσ2PrHFFHHH∣∣∣∣
其中，F\mathbf{F}F表示在BS端的总预编码矩阵，且F=FrfFdig\mathbf{F}=\mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}F=FrfFdig。总共率约束为：∥FrfFdig∥F2=Ns\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}\right\|_{F}^{2}=N_{\mathrm{s}}∥FrfFdig∥F2=Ns，PCS结构的硬件约束可以表示为：Frf=[v‾10…00v‾20⋮⋱⋮00…v‾Nt]Mt×Nt\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}=\left[\begin{array}{cccc}{\overline{\mathbf{v}}_{1}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\overline{\mathbf{v}}_{2}} & {} & {\mathbf{0}} \\ {\vdots} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\overline{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}}Frf=⎣⎢⎢⎢⎡v10⋮00v20…⋱…00⋮vNt⎦⎥⎥⎥⎤Mt×Nt，其中v‾n∈CM×1,n=1,2,…,Nt\overline{\mathbf{v}}_{n} \in \mathbb{C}^{M \times 1}, n=1,2, \ldots, N_{\mathrm{t}}vn∈CM×1,n=1,2,…,Nt，v‾n\overline{\mathbf{v}}_{n}vn的mthm^{\mathrm{th}}mth个元素满足v‾n,m=ejθn,m,m=1,2,…,M\overline{v}_{n, m}=e^{j \theta_{n, m}}, m=1,2, \ldots, Mvn,m=ejθn,m,m=1,2,…,M。信道模型是mmWave信道中经典的S-V模型：H=MrMtL∑l=1Lαlar(θl)atH(φl)\mathbf{H}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{r}} M_{\mathrm{t}}}{L}} \sum_{l=1}^{L} \alpha_{l} \mathbf{a}_{\mathrm{r}}\left(\theta_{l}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{t}}^{H}\left(\varphi_{l}\right)H=LMrMt∑l=1Lαlar(θl)atH(φl)。在全连接结构下，假设接收端是最佳解码的情况下，最大化可实现速率的优化问题可以表示为：

回顾一下前面Omar El Ayach等人的工作https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/89785927该目标函数可以近似为最小化最优无约束模拟波束赋形和混合precoding矩阵的F范数。

定义信道H\mathbf{H}H 的SVD分解为H=UHΣHVHH\mathbf{H}=\mathbf{U}_{\mathrm{H}} \Sigma_{\mathrm{H}} \mathbf{V}_{\mathrm{H}}^{H}H=UHΣHVHH，其中VH∈CMt×Mt\mathbf{V}_{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times M_{\mathrm{t}}}VH∈CMt×Mt，并且定义VH\mathbf{V}_{\mathrm{H}}VH的分块为：VH=[VH1VH2VH3]\mathbf{V}_{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}} & {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}} & {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{3}}}\end{array}\right]VH=[VH1VH2VH3]
其中，VH1∈CMt×Ns\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}VH1∈CMt×Ns，VH2∈CMt×(rH−NS)\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{S}}\right)}VH2∈CMt×(rH−NS)，rH=rank⁡(H)r_{\mathrm{H}}=\operatorname{rank}(\mathbf{H})rH=rank(H)，VH3∈CMt×(Mt−rH)\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{3}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times\left(M_{\mathrm{t}}-r_{\mathrm{H}}\right)}VH3∈CMt×(Mt−rH)。然后Fopt=VH1\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}=\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}Fopt=VH1，这种近似能够用数学公式化地定义为：
{VH1HFrfFdig≈INsVH2HFrfFdig≈0(rH−Ns)×Ns\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \approx \mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}} \\ {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \approx \mathbf{0}_{\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{s}}\right) \times N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right.{VH1HFrfFdig≈INsVH2HFrfFdig≈0(rH−Ns)×Ns

PCS-HP设计的分析

为了便于说明，定义Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig为：Fdig=[ω1,1…ω1,Ns⋮⋱⋮ωNt,1⋯ωNt,Ns]Nt×Ns\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\left[\begin{array}{ccc}{\omega_{1,1}} & {\dots} & {\omega_{1, N_{\mathrm{s}}}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\omega_{N_{\mathrm{t}}, 1}} & {\cdots} & {\omega_{N_{\mathrm{t}}, N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right]_{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}Fdig=⎣⎢⎡ω1,1⋮ωNt,1…⋱⋯ω1,Ns⋮ωNt,Ns⎦⎥⎤Nt×Ns，总预编码矩阵F\mathbf{F}F可以表示为：F=[F1TF2T…FNtT]Mt×NsT\mathbf{F}=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{F}_{1}^{T}} & {\mathbf{F}_{2}^{T}} & {\ldots} & {\mathbf{F}_{N_{\mathrm{t}}}^{T}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}^{T}F=[F1TF2T…FNtT]Mt×NsT，其中Fi=[ωi,1v‾i,ωi,2v‾i,…,ωi,Nsv‾i]M×Ns\mathbf{F}_{i}=\left[\omega_{i, 1} \overline{\mathbf{v}}_{i}, \omega_{i, 2} \overline{\mathbf{v}}_{i}, \ldots, \omega_{i, N_{\mathrm{s}}} \overline{\mathbf{v}}_{i}\right]_{M \times N_{\mathrm{s}}}Fi=[ωi,1vi,ωi,2vi,…,ωi,Nsvi]M×Ns。对于子矩阵Fi\mathbf{F}_{i}Fi有如下两个约束：

rank⁡(Fi)=1\operatorname{rank}\left(\mathbf{F}_{i}\right)=1rank(Fi)=1，这是由于Fi\mathbf{F}_{i}Fi的每一列都可以由v‾i\overline{\mathbf{v}}_{i}vi表示
Fi\mathbf{F}_{i}Fi相同列中的每个元素都有一个相同幅值，他们仅由Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig的相关元素决定

上面的这些约束使得Fi\mathbf{F}_{i}Fi不可能实现Fopt\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}Fopt。因此，对于PCS-HP来说，致力于找到一组Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf和Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig直接近似Fopt\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}Fopt是不明智的。所以退化到上面提到的一个数学近似，我们只需要找到一组满足{VH1HFrfFdig=INsVH2HFrfFdig=0(rH−Ns)×Ns\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}} \\ {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{0}_{\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{s}}\right) \times N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right.{VH1HFrfFdig=INsVH2HFrfFdig=0(rH−Ns)×Ns（***）的Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf和Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig。
在这小节的分析中，作者给出了两个命题，具体推导可以参照原文，下面直接上命题内容：

如果找到一组满足***的Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf和Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig，那么RF链的数量应该要大于信道矩阵H\mathbf{H}H的秩，即：Nt⩾rHN_{\mathrm{t}} \geqslant r_{\mathrm{H}}Nt⩾rH
在功率约束的条件下，通过PCS-HP不可能实现最大速率。

PCS-HP的分阶段设计

优化问题用数学表达可以写为：argmax⁡Frf,Fdig{log⁡2∣IMr+PrNSσ2HFrfFdigFdigHFrfHHH∣:(3),(4)}\underset{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}, \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{S}} \sigma^{2}} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H}\right| :(3),(4)\right\}Frf,Fdigargmax{log2∣∣∣IMr+NSσ2PrHFrfFdigFdigHFrfHHH∣∣∣:(3),(4)}，同前面Yuwei https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/89765714 等人的工作展示的一样，首先固定Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf，He=HFrf\mathbf{H}_{\mathrm{e}}=\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}He=HFrf视为一个等效信道，此时Fdig\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}Fdig的问题可以表示为：argmax⁡Fdig {log⁡2∣INs+PrNsσ2HcFdigFdigHHeH∣:(3)}\underset{\mathbf{F}_{\text { dig }}}{\operatorname{argmax}}\left\{\log _{2}\left|\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}} \mathbf{H}_{\mathrm{c}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{H} \mathbf{H}_{\mathrm{e}}^{H}\right| :(3)\right\}F dig argmax{log2∣∣∣INs+Nsσ2PrHcFdigFdigHHeH∣∣∣:(3)}，注水算法下该问题的解为：Fdigopt=Q−1/2UsΓs\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}}=\mathbf{Q}^{-1 / 2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}}Fdigopt=Q−1/2UsΓs其中：Q=FrfHFrf\mathbf{Q}=\mathbf{F}_{\mathrm{r f}}^{\mathrm{H}} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Q=FrfHFrf，Us∈CNt×Ns\mathbf{U}_{\mathrm{s}} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}Us∈CNt×Ns是与HeQ−1/2\mathbf{H}_{\mathrm{e}} \mathbf{Q}^{-1 / 2}HeQ−1/2右奇异向量相关的第NSN_{\mathrm{S}}NS列，Γs\Gamma_{\mathrm{s}}Γs是通过注水算法求得的功率分配对角阵且tr⁡{Γs2}=Ns\operatorname{tr}\left\{\Gamma_{\mathrm{s}}^{2}\right\}=N_{\mathrm{s}}tr{Γs2}=Ns。这时候，PCS下Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf的特殊性，直接有Q=MI\mathbf{Q}=M \mathbf{I}Q=MI，因此：Fdigopt=M−1/2UsΓs\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}}=M^{-1 / 2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}}Fdigopt=M−1/2UsΓs。令Fdig=Fdigopt\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}}Fdig=Fdigopt，γ=M−1PrNsσ2\gamma=\frac{M^{-1} P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}}γ=Nsσ2M−1Pr，目标函数可以进一步写为：log⁡2∣IMr+γHcUsΓs2UsHHeH∣\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\gamma \mathbf{H}_{\mathrm{c}} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}}^{2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}}^{H} \mathbf{H}_{\mathrm{e}}^{H}\right|log2∣∣IMr+γHcUsΓs2UsHHeH∣∣=log⁡2∣INs+γΓs2Λ2∣\quad=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}+\gamma \Gamma_{\mathrm{s}}^{2} \Lambda^{2}\right|=log2∣∣INs+γΓs2Λ2∣∣
其中，Λ=diag⁡{λ1,λ2,…,λNs}\Lambda=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N_{\mathrm{s}}}\right\}Λ=diag{λ1,λ2,…,λNs}且λ1⩾λ2⩾…⩾λNS\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{N_{\mathrm{S}}}λ1⩾λ2⩾…⩾λNS，它们是He\mathbf{H}_{\mathrm{e}}He的NSN_{\mathrm{S}}NS大奇异值。本文考虑了两种特殊的情况：

在足够低SNR的情况下，最优功率分配策略是把所有的能量分配给单数据流。
在足够高SNR的情况下，最优功率分配策略是均等分配传输功率给每个数据流。

模拟precoding的设计

情况一

这时候的目标函数等价为log⁡2∣1+γNSλ12∣\log _{2}\left|1+\gamma N_{\mathrm{S}} \lambda_{1}^{2}\right|log2∣∣1+γNSλ12∣∣，因此，最优Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf的设计问题可以等价为：
argmax⁡Frf{∥HFrf∥2:(4)}\underset{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2} :(4)\right\}Frfargmax{∥HFrf∥2:(4)}
注意： ∥HFrf∥F2\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2}∥HFrf∥F2和∥HFrf∥22\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2}∥HFrf∥22是密切相关的，因为∥HFrf∥F2=∑n=1Niλn2=∥HFrf∥22+∑n=2Ntλn2=α∥Hrf∥22\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2}=\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{i}}} \lambda_{n}^{2}=\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2}+\sum_{n=2}^{N_{\mathrm{t}}} \lambda_{n}^{2}=\alpha\left\|\mathbf{H}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2}∥HFrf∥F2=∑n=1Niλn2=∥HFrf∥22+∑n=2Ntλn2=α∥Hrf∥22（1⩽α⩽Nt1 \leqslant \alpha \leqslant N_{\mathrm{t}}1⩽α⩽Nt）。因此，本文是尝试最大化∥HFrf∥F2\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2}∥HFrf∥F2，最优问题此时可以描述为：argmax⁡Fff{tr⁡{FrfHHHHFrf}:(4)}\underset{\mathbf{F}_{\mathrm{ff}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\operatorname{tr}\left\{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\} :(4)\right\}Fffargmax{tr{FrfHHHHFrf}:(4)}
定义H\mathbf{H}H的有序SVD为H=UHΣHVHH\mathbf{H}=\mathbf{U}_{\mathrm{H}} \Sigma_{\mathrm{H}} \mathbf{V}_{\mathrm{H}}^{H}H=UHΣHVHH，其中VH∈CMt×rH\mathbf{V}_{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times r_{\mathrm{H}}}VH∈CMt×rH，定义VH\mathbf{V}_{\mathrm{H}}VH有如下分块：
VH=[v~1,1…v~1,Mt⋮⋱⋮v~Nt,1…v~Nt,Mt]\mathbf{V}_{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{ccc}{\widetilde{\mathbf{v}}_{1,1}} & {\dots} & {\widetilde{\mathbf{v}}_{1, M_{\mathrm{t}}}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\widetilde{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}, 1}} & {\dots} & {\widetilde{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}, M_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right]VH=⎣⎢⎡v1,1⋮vNt,1…⋱…v1,Mt⋮vNt,Mt⎦⎥⎤
于是目标函数可以进一步表示为：tr⁡{FrfHHHHFrf}=∑n=1Ntv‾nH(∑r=1rHv~n,rv~n,rHσr2)v‾n\operatorname{tr}\left\{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\}=\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{t}}} \overline{\mathbf{v}}_{n}^{H}\left(\sum_{r=1}^{r_{\mathrm{H}}} \widetilde{\mathbf{v}}_{n, r} \tilde{\mathbf{v}}_{n, r}^{H} \sigma_{r}^{2}\right) \overline{\mathbf{v}}_{n}tr{FrfHHHHFrf}=∑n=1NtvnH(∑r=1rHvn,rv~n,rHσr2)vn，其中σr\sigma_{r}σr是H\mathbf{H}H的rthr^{\mathrm{th}}rth个奇异值。（这么表示的目的是为了得到每个射频链对目标函数的贡献，并且可以看出他们的贡献都是独立的，也使得可以把整个目标函数解耦成很多子问题）第nthn^{\mathrm{th}}nth个子问题可以表达为：
argmax⁡v‾n{v‾nHZv‾n}\underset{\overline{v}_{n}}{\operatorname{argmax}}\left\{\overline{\mathbf{v}}_{n}^{H} \mathbf{Z} \overline{\mathbf{v}}_{n}\right\}vnargmax{vnHZvn}s.t.v‾n,m∗v‾n,m=1,m=1,2,…,Ms.t. \overline{v}_{n, m}^{*} \overline{v}_{n, m}=1, \quad m=1,2, \ldots, Ms.t.vn,m∗vn,m=1,m=1,2,…,M
其中Z=∑r=1rHv~n,rv~n,rHσr2\mathbf{Z}=\sum_{r=1}^{r_{\mathrm{H}}} \tilde{\mathbf{v}}_{n, r} \widetilde{\mathbf{v}}_{n, r}^{H} \sigma_{r}^{2}Z=∑r=1rHv~n,rvn,rHσr2。实际上，该问题等价于具有单天线功率约束的单流最优发射机波束形成问题，在以前的一些研究中已经证明了该问题的解v‾nopt\overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{opt}}vnopt当且仅当v‾nopt\overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{opt}}vnopt的每个元素满足：
v‾n,iopt=ψ(∑k≠izikv‾n,kopt),i=1,…,M\overline{v}_{n, i}^{\mathrm{opt}}=\psi\left(\sum_{k \neq i} z_{i k} \overline{v}_{n, k}^{\mathrm{opt}}\right), \quad i=1, \ldots, Mvn,iopt=ψ⎝⎛k=i∑zikvn,kopt⎠⎞,i=1,…,M
zikz_{i k}zik是Z\mathbf{Z}Z的第ithi^{\mathrm{th}}ith行，kthk^{\mathrm{th}}kth列的元素，ψ(x)\psi(x)ψ(x)定义如下：ψ(x)={1,x=0x∣x∣,x≠0\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {x=0} \\ {\frac{x}{|x|},} & {x \neq 0}\end{array}\right.ψ(x)={1,∣x∣x,x=0x=0。因此，v‾nopt\overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{o} \mathrm{pt}}vnopt的每个元素可以通过迭代获得，然后逐列更新。总的算法如下：

情况二

这时候的目标函数可以表示为：log⁡2∣Cn‾∣+log⁡2∣1+γvnHZn‾vn∣\log _{2}\left|\mathbf{C}_{\overline{n}}\right|+\log _{2}\left|1+\gamma \mathbf{v}_{n}^{H} \mathbf{Z}_{\overline{n}} \mathbf{v}_{n}\right|log2∣Cn∣+log2∣∣1+γvnHZnvn∣∣，其中Cn‾=INt−1+γ(Fn‾rf)HGFrf\mathbf{C}_{\overline{n}}=\mathbf{I}_{N_{\mathrm{t}}-1}+\gamma\left(\mathbf{F}_{\overline{n}}^{\mathrm{rf}}\right)^{H} \mathbf{G} \mathbf{F}^{\mathrm{rf}}Cn=INt−1+γ(Fnrf)HGFrf，Zn‾=\mathbf{Z}_{\overline{n}}=Zn=G−\mathbf{G}-G−γGFrfnCn‾−1(Frfn‾)HG\gamma \mathbf{G} \mathbf{F} \frac{\mathrm{rf}}{n} \mathbf{C}_{\overline{n}}^{-1}\left(\mathbf{F} \frac{\mathrm{rf}}{\overline{n}}\right)^{H} \mathbf{G}γGFnrfCn−1(Fnrf)HG，特别地：G=HHH\mathbf{G}=\mathbf{H}^{H} \mathbf{H}G=HHH，vn\mathbf{v}_{n}vn是Frf\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}Frf的第nthn^{\mathrm{th}}nth列，Fn‾rf\mathbf{F}_{\overline{n}}^{\mathrm{rf}}Fnrf是去除第nthn^{\mathrm{th}}nth后的子矩阵。同样也是计算单独贡献，且Cn‾\mathbf{C}_{\overline{n}}Cn和Zn‾\mathbf{Z}_{\overline{n}}Zn是与vn\mathbf{v}_{n}vn。因此目标函数的最大化只需要关注第二项，引入一个选择矩阵，En=[0M×M(n−1)IM0M×M(Nt−n)]\mathbf{E}_{n}=\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{0}_{M \times M(n-1)}} & {\mathbf{I}_{M}} & {\mathbf{0}_{M \times M\left(N_{t}-n\right)}}\end{array}\right]En=[0M×M(n−1)IM0M×M(Nt−n)]，这时候的优化问题可以表示为：
argmax⁡v‾n{v‾nHEnZn‾EnHv‾n}\underset{\overline{\mathbf{v}}_{n}}{\operatorname{argmax}}\left\{\overline{\mathbf{v}}_{n}^{H} \mathbf{E}_{n} \mathbf{Z}_{\overline{n}} \mathbf{E}_{n}^{H} \overline{\mathbf{v}}_{n}\right\}vnargmax{vnHEnZnEnHvn}s.t.v‾n,m∗v‾n,m=1,m=1,2,…,Ms.t. \overline{v}_{n, m}^{*} \overline{v}_{n, m}=1, \quad m=1,2, \ldots, Ms.t.vn,m∗vn,m=1,m=1,2,…,M。不难发现与单数据流情况下的近似问题是等价的，可以使用相同的方法解决。

后面还有部分内容关于复杂度与性能上界的分析，具体参照原文。

还有一个本人认为稍微的部分是：在仿真中，作者考虑了非理想CSI的情况，评估不完全CSI对两种方案的影响。使用的方法也较为简单，引入一个估计精确度δ∈[0,1]\delta \in[0,1]δ∈[0,1]，估计信道表示为：
H^=δH+1−δ2Ξ\hat{\mathbf{H}}=\delta \mathbf{H}+\sqrt{1-\delta^{2}} \XiH^=δH+1−δ2ΞΞ\XiΞ是一个独立同分布的CN(0,1)\mathcal{C N}(0,1)CN(0,1)噪声矩阵。

具体的仿真结果请参照原文。

结论

本文研究了基于PCS的毫米波MIMO发射机最优化设计问题。分别针对于高SNR情况与低SNR情况提出了两种模拟precoding的设计，且最优数字precoding通过注水算法获得。针对每一种方案，将原优化问题重新表述为具有单天线功率约束的单流最优发射机波束形成问题，它们都有一个最优解。此外，给出了具有闭形式表达式的可达速率的上界。

混合波束成形| 部分连接系统 :Hybrid Precoding for mmWave Massive MIMO Systems With Partially-Connected Structure

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问题背景

系统模型

PCS-HP设计的分析

PCS-HP的分阶段设计

模拟precoding的设计

情况一

情况二

结论

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