系列前一篇文章混合波束成形专栏|基础：深入浅出5G，毫米波，大规模MIMO与波束赋形，帮助了许多需要帮助的人。这几个月一直偷懒，没有写文章。需要再次强调的是，写这一系列文章的主旨在于：许多人以把简单的事情讲复杂来显示自己的牛逼，而我则喜欢把复杂的东西说简单来证明自己的努力。今天想写一下关于混合波束成形的算法设计。

文章目录

前言
系统模型与数学建模
设计算法的思路
一些仍然值得研究的问题
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前言

混合波束赋形专栏| 对5G热门研究技术：混合波束成形算法的讨论与经典论文的推敲，一点拙见，如有偏颇，望不吝赐教，盼即赐复。

系统模型与数学建模

关于MIMO，波束成形和5G毫米波等基本概念，可以参考前作混合波束成形专栏|基础：深入浅出5G，毫米波，大规模MIMO与波束赋形，应该是全网讲的最简洁清晰的攻略了。因此，后续的推导将默认你们已经掌握上一篇的基础上进行。

首先，传统的MIMO系统如下图所示

图中数据处理部分，除了发送端数字域的数据处理，还需要包括

发送端的DAC （数字信号转模拟信号）
发送端的上变频操作
接收端的ADC（模拟信号转数字信号）
接收端的下变频操作

用于实现这一系列操作的被称为射频链路 (Radio Frequency chain， RF chain)。而在传统的MIMO中，为每根天线配置了一条射频链路。其优点在于，可以对输入信号进行数字域的数据处理（即任意地调整信号的幅度和相位）后直接输送到发送天线进行发送。这样的数据处理也被称为全数字波束成形 (Fully-digital beamforming)。而缺点在于，随着天线数目的增长（5G系统大规模MIMO中，天线数可达数百），已经无法负担为每根天线都配置一条对应的RF chain的开销。于是，为降低硬件开支，混合波束成形 (Hybrid analog and digital beamforming, HBF)结构应运而生。

图片出自HBF的经典论文，其读书笔记可参考前作混合波束赋形专栏|基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit）法的混合波束赋形算法。简单说下其结构和各符号的意义：

NsN_\mathrm{s}Ns: 发送信号的维度，也可以称为同一时刻发送了NsN_\mathrm{s}Ns路信号。
NtN_\mathrm{t}Nt, NrN_\mathrm{r}Nr：发送与接收天线数
NRFtN^t_\mathrm{RF}NRFt, NRFrN^r_\mathrm{RF}NRFr：发送与接收的RF chain数目
FBB\mathbf{F}_\mathrm{BB}FBB, WBB\mathbf{W}_\mathrm{BB}WBB：发送和接收数字波束成形矩阵
FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF：发送和接收模拟波束成形矩阵
值得一提的是，很多论文中将发送波束成形矩阵称为预编码矩阵 (precoder)，接收称为(combiner)，如果看到的话知道这是一回事就可以了。
这张图其实已经反映了HBF的核心特征：大大降低了RF chain的数目，从而节约了硬件开销。需要重点注意的是模拟波束成形和数字波束成形的区别。为了降低RF chain，后续的模拟波束成形是在模拟域（射频）上操作的，因此，主流结构使用相移器 (phase shifter)来实现。其优点是成本较低，缺点在于只能改变信号的相位。
有一些基本的关系：首先，要发送NsN_\mathrm{s}Ns路信号，至少需要NRFt≥NsN^t_\mathrm{RF}\ge N_\mathrm{s}NRFt≥Ns路射频链路。同时，为减轻硬件开销，往往有NRFt<<NtN^t_\mathrm{RF}<< N_\mathrm{t}NRFt<<Nt。通过数学建模的方式，把整个运作流程给大家过一遍：
Ns×1N_\mathrm{s} \times 1Ns×1的发送向量 s\mathbf{s}s, 经过数字域的波束成形(线性变换, 可表示为维度为NRFt×NsN^t_\mathrm{RF} \times N_\mathrm{s}NRFt×Ns 的矩阵 FBB\mathbf{F}_\mathrm{BB}FBB, 得到维度为 NRFt×1N^t_\mathrm{RF} \times 1NRFt×1的向量。
接下来，由相移器实现的模拟波束成形矩阵（建模为维度是Ntt×NRFN^t_\mathrm{t} \times N_\mathrm{RF}Ntt×NRF的矩阵FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF)对信号进行处理，得到发送天线上实际待发送的信号，维度为Ntt×1N^t_\mathrm{t} \times 1Ntt×1的信号x=FRFFBBs\mathbf{x}=\mathbf{F}_\mathrm{RF}\mathbf{F}_\mathrm{BB}\mathbf{s}x=FRFFBBs。
发送信号经过MIMO信道，可以将该线性变换建模为Nr×NtN_\mathrm{r} \times N_\mathrm{t}Nr×Nt的信道矩阵H\mathbf{H}H。即接收天线上收到信号为r=Hx\mathbf{r} = \mathbf{H}\mathbf{x}r=Hx。
接收端会做一个和发送端镜像的操作，即先通过模拟波束成形后再进行数字波束成形。最终得到的信号为 s^=WBBHWRFHr\hat{s}=\mathbf{W}_\mathbf{BB}^H\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H\mathbf{r}s^=WBBHWRFHr。这里，将接收端的操作写为WRFH\mathbf{W}_\mathbf{RF}^HWRFH而不是WRF\mathbf{W}_\mathbf{RF}WRF只是一种主流的写法，其实两者都是可以的。当写为WRFH\mathbf{W}_\mathbf{RF}^HWRFH时，WRF\mathbf{W}_\mathbf{RF}WRF的维度是Nr×NRFN_\mathrm{r} \times N_\mathrm{RF}Nr×NRF。

将整个式子展开来，接收到的信号可以建模为：
s^=WBBHWRFHHFRFFBBs\hat{\mathbf{s}}=\mathbf{W}_\mathbf{BB}^H\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H \mathbf{H}\mathbf{F}_\mathrm{RF}\mathbf{F}_\mathrm{BB}\mathbf{s}s^=WBBHWRFHHFRFFBBs

而全数字波束成形结构下，接收信号可表示为
s^=WHHFs.\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{W}^H\mathbf{H}\mathbf{F}\mathbf{s}.s^=WHHFs.

可以看到纯数字波束成形与混合波束成形的核心区别：

混合波束成形所需要设计的矩阵数目更多（共有4个）
由于硬件实现上的区别， FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF是由相移器实现的，因此只能改变信号的相位，对应于数学建模后的限制为，矩阵的每一个元素的模为1. 这一限制也叫做恒模约束，是HBF设计问题中最棘手的限制之一。（改变信号的角度等价于信号乘以 ejθe^{j\theta}ejθ, θ\thetaθ为改变的角度值）。
同时，对于宽带信道（如OFDM系统），由于FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF是在射频上实现，因此无法对每个子载波进行各自的模拟波束成形。相反，由于FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF是对经过RF chain后的时域信号进行线性变换，因此，对应到频域上是对每个子载波进行了相同的操作。也就是说，所有的子载波信号经过了同样的FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF处理。这个后面会再提到。为了便于理解，这篇文章考虑的是简单的窄带情形，也就不涉及这一问题。
尽管引入了许多限制，增大了波束成形的难度，但这样的结构大大降低了硬件开销（主要是减少了RF chain的数目）。

设计算法的思路

正因为硬件上带来的限制，使得传统MIMO波束成形的算法无法直接使用到大规模MIMO的HBF结构下。因此，提出适用于HBF结构的算法十分必要。在笔者所看过的所有HBF文章中，其实设计算法的思路只有如下两种：

目标为最小化∥Fopt−FRFFBB∥F\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}∥Fopt−FRFFBB∥F。
Fopt\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}Fopt表示全数字波束成形下的最优解。由于在过去的几十年中，人们在传统小规模MIMO下的研究已有了较深的积累，因此已有无数成熟的算法来求解全数字波束成形下的最优解。而这一思路的优点可以概括为：站在前人的肩膀上，使用传统纯熟的算法求解出全数字最优解，然后设计HBF矩阵（即FRFFBB\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}FRFFBB）使其尽可能的逼近该最优解。因此，数学建模为最小化两者差的F范数。
有许多文章使用了这一做法，较为经典的是这两篇文章。
- Spatially sparse precoding in millimeter wave MIMO systems
- Alternating minimizatioalgorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems
  如果想进一步深入HBF算法设计的，笔者认为这两天文章是必读的。这种思路的优劣势如下：
- 优点：可以利用过去几十年对数字波束成形的研究成果。一种算法可以应对各种不同的性能指标（如Spectral Efficiency (SE), MSE），这样处理也可以简化问题，发送端和接收端可以被解耦，独立求解。
- 缺点：性能上会有所损失，相当于把优化问题近似为了一个矩阵拆分问题，那么最终求出的结果也不会是最优的结果。
直接作为一个全新的问题，不依赖于过去的算法，直接以性能指标为优化目标对四个矩阵进行优化。有两篇较为典型的文章。
- Hybrid digital and analog beamforming design for large-scale antenna arrays
- Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
  这种思路直接以优化目标函数来formulate优化问题并直接求解，优缺点恰恰与上一种思路相反。上述的两篇文章分布以SE 和 MSE为目标对四个矩阵进行优化，想进一步深入HBF的也值得一看。

一些仍然值得研究的问题

5G HBF的算法设计时至今日，也已有了多年的积累。本文所描述的系统模型和算法设计思路，基本已经被学者们做透了，然而，仍然有许多问题，值得进一步的探讨和思考

更进一步的硬件限制–部分连接结构。本文描述的系统模型中的模拟波束成形结构，被称为fully-connected，即全连接结构。这个结构需要Nt×NRFN_\mathrm{t}\times N_\mathrm{RF}Nt×NRF个相移器，这一开销也十分昂贵。因此， Alternating minimizatioalgorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems中提出了一种partially-connected的结构，下图展示了两者的区别：

左图中，每个RF chain和天线间都有一个相移器连接（这也是为什么我们可以把模拟波束成形操作建模为一个矩阵），而右图的partially-connected结构中，每根天线只与一个相移器相连。显然，这一结构会对问题的求解引入新的限制，即FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF需要满足是一个块对角矩阵。在实际中，partially-connected结构更节约硬件开销，更易于工程实现，因此该结构下的算法非常值得研究。
更进一步的硬件限制–有限精度的相移器。在本文讨论的结构中，我们在设计FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF矩阵时只考虑了其只能改变信号相位的限制。而事实上，在实际中相移器所要改变信号角度的精度也是有限的（本文所提到的文章中均假设了无限精度的相移器）。考虑实际的限制，那么FRF\mathbf{F}_\mathrm{RF}FRF, WRF\mathbf{W}_\mathrm{RF}WRF中的元素应该只能在一个离散的集合中选取。一般我们将相移器按精度描述为n-bit 相移器，对应的就是有2n2^n2n种相位可以选择，即模拟波束成形矩阵的元素只能在2n2^n2n种相位中选择。
另一种硬件思路–有限精度ADC/DAC。这个其实和本文关系不大，也不是HBF的范畴了，但适用于大规模MIMO系统，因此简单提一下。其思路就是，全数字波束成形的缺点就在于RF chain太多，而RF chain太多的核心问题是数模转换器和模数转换器的成本太高。因此，这种思路是我不降低RF chain的数目，但每个RF chain只使用成本较低的有限精度ADC/DAC，以此来降低成本。
信道估计与信道信息。本文所提到的论文中，都是假设了完美已知的信道信息，侧重于波束成形设计。但实际中，如何精确估计信道信息是一个非常重要的话题。同样，全数字结构下的信道估计方法不能直接套用到HBF结构下进行信道估计。而对于波束成形设计而言，能够对信道估计误差进行一些鲁棒性的设计，会更加难能可贵。

混合波束成形|进阶：深入浅出混合波束赋形

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