文章目录

前言
背景简介
问题建模
波束成形设计：数字波束成形
波束成形设计：模拟波束成形
- 流形优化
- GEVD算法
波束成形设计：接收端
拓展到宽带系统
仿真性能
- 窄带情形
- 宽带情形
总结
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前言

论文题目： Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
论文地址：https://arxiv.org/abs/1902.08343
源码地址：https://github.com/TianLin0509/Hybrid-Beamforming-for-Millimeter-Wave-Systems-Using-the-MMSE-Criterion

这是笔者自己发表在TCom ( IEEE Transactions on Communications) 上的论文，因为这几天要做一些相关报告，顺便也写成一篇博客。毕竟完成了那么多篇他人论文的读后感，也是时候记录下自己的工作了。何况最懂一篇文章的，一定是作者本人啦。本博文旨在以最简练的篇幅来提炼文章的核心。

背景简介

本文的工作还是基于毫米波的混合波束成形系统。关于混合波束成形的背景和介绍，可以参考笔者之前的文章，

混合波束成形专栏|基础：深入浅出5G，毫米波，大规模MIMO与波束赋形
混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形

这篇文章与之前相关工作的主要区别点在于，是以MSE为目标提出了一系列优化算法。尽管在此之前已经有一些以MSE为优化目标的波束成形算法的设计工作，但基本是多用户场景下，且并未详尽地阐述该目标的意义。从算法角度而言，本文的算法也将性能优化了许多。

问题建模

本文可以分为两部分，第一部分以上图所示的窄带点对点毫米波通信系统为研究对象，提出了相关算法。第二部分则将其拓展到了宽带OFDM系统下。阅读完混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形的话，很容易可以写出接收端得到的接收信号的表示式：

y=WBHWRFHHVRFVBs+WBHWRFHu\mathbf{y}=\mathbf{W}_{\mathrm{B}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{B}} \mathbf{s}+\mathbf{W}_{\mathrm{B}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{u}y=WBHWRFHHVRFVBs+WBHWRFHu

与许多相关工作不同的是，本文是以MSE作为优化目标：
MSE≜E{∥β−1y−s∥2}\mathrm{MSE} \triangleq E\left\{\left\|\beta^{-1} \mathbf{y}-\mathbf{s}\right\|^{2}\right\}MSE≜E{∥∥β−1y−s∥∥2}

这里需要解释一下：严格的MSE应该就是 MSE≜E{∥y−s∥2}\mathrm{MSE} \triangleq E\left\{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{s}\right\|^{2}\right\}MSE≜E{∥y−s∥2}，而这里的β\betaβ则是一个标量因子，物理意义上是将接收到的信号放大/缩小一定的幅度，使之更接近于原始信号。这个MSE也被称为 modified MSE。可以理解为用于矫正由于预编码及信道造成的信号幅度的放大/缩小。
但事实上，因为我们研究的点对点系统中，接收端也有波束成形操作，因此这一步的标量scaling其实可以由接收波束赋形来完成。那β\betaβ的意义在哪里呢？这其实是有相应考虑的，这并非本文的贡献，因为传统的波束成形也会面临同样的疑问，但这是本文需要解答的，引入β\betaβ主要出于三点考虑：

第一，在传统的MIMO波束成形研究中，在设计预编码矩阵的时候，如果以原始的MSE（无β\betaβ）为目标，会发现预编码矩阵的设计与噪声能量无关！ 这其实不符合MSE的初衷。而如果引入β\betaβ， 预编码矩阵的解就与噪声能量相关，也因此可以达到更合理的性能。
第二，从数学意义上而言，混合波束成形问题中，需要求解四个矩阵，愈发复杂。而以传统MSE为目标求解的时候，考虑发送的功率约束，需要引入拉格朗日乘子，这个乘子非常难求，且影响后续对其他矩阵的设计。而引入β\betaβ后，后面的推导会证明大大简化了数学求解难度。
第三，引入β\betaβ后，可以使得 固定接收端解发送端 和 固定发送端解接收端 两个子问题可以化为完全一致的形式，也就可以用同样的算法来求解了。

最后，为什么要以MSE为目标求解，而不是用Rate等呢？因为在传统通信中， MSE是一个经典且合理的指标，完全有理由同样应用在5G的毫米波通信中。其次， MSE为目标往往能保证更好的BER性能，而且由于目标的不同，数学问题完全不一样了，推导的算法也会有较大的变化。最后，我们可以将MSE的算法推广到WMSE(weight MSE), 这时的解将会有非常不错的Rate性能。

波束成形设计：数字波束成形

如混合波束成形专栏|进阶：深入浅出混合波束赋形中所述，在求解HBF优化问题的时候，由于总共有4个矩阵，主流的做法都是， 将发送端和接收端解耦，其实就是简单的：先固定接收端求解发送端，再固定发送端求解接收端，然后迭代。我们的第一步也是如此：先固定接收端，求解发送端。首先令VB=βVU\mathbf{V}_{\mathrm{B}}=\beta \mathbf{V}_{\mathrm{U}}VB=βVU，可以得到目标函数：

minimize⁡VRF,VU,βtr⁡(H1HVRFVUVUHVRFHH1−H1HVRFVU−VUHVRFHH1+σ2β−2WHW+INa)subject to tr⁡(VRFVUVUHVRFH)≤β−2;∣[VRF]ij∣=1,∀i,j\begin{array}{ll} \operatorname{minimize}_{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{V}_{\mathrm{U}}, \beta} & \operatorname{tr}\left(\mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}-\mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}\right. \left.-\mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}+\sigma^{2} \beta^{-2} \mathbf{W}^{H} \mathbf{W}+\mathbf{I}_{N_{\mathrm{a}}}\right) \\ \text { subject to } & \operatorname{tr}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H}\right) \leq \beta^{-2} ; \left|\left[\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right]_{i j}\right|=1, \forall i, j \end{array}minimizeVRF,VU,β subject to tr(H1HVRFVUVUHVRFHH1−H1HVRFVU−VUHVRFHH1+σ2β−2WHW+INa)tr(VRFVUVUHVRFH)≤β−2;∣∣∣[VRF]ij∣∣∣=1,∀i,j

可以看到，这一步中我们只需要优化发送预编码矩阵（数字阵和模拟阵）及引入的β\betaβ标量。由于模拟阵有恒模约束，求解困难，因此我们先求解数字阵。

很容易通过反证法得知：必在达到最大功率时达到最佳性能，因此根据第一个限制条件的等号成立时：

β=(tr⁡(VRFVUVUHVRFH))−12\beta=\left(\operatorname{tr}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}} \mathbf{V}_{\mathrm{U}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H}\right)\right)^{-\frac{1}{2}}β=(tr(VRFVUVUHVRFH))−21

再用拉格朗日乘子法，求解上面的问题，利用KKT法则，就可以求得数字阵的闭式解：
VU=(VRFHH1H1HVRF+σ2wVRFHVRF)−1VRFHH1\mathbf{V}_{\mathrm{U}}=\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} w \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}VU=(VRFHH1H1HVRF+σ2wVRFHVRF)−1VRFHH1
一些符号的具体定义可以找一下论文的对应，这里就不再赘述了。而将解得的VU\mathbf{V}_{\mathrm{U}}VU代入目标函数中后，目标函数就转化成了只和VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF相关的单变量函数了：
J(VRF)≜tr⁡((INe+1σ2wH1HVRF(VRFHVRF)−1VRFHH1)−1)J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right) \triangleq \operatorname{tr}\left(\left(\mathbf{I}_{\mathrm{N}_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{\sigma^{2} w} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}\right)^{-1}\right)J(VRF)≜tr((INe+σ2w1H1HVRF(VRFHVRF)−1VRFHH1)−1)
但是注意， VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF是有恒模约束的，因此需要设计特定的算法求解。

波束成形设计：模拟波束成形

接上一节，本文给出了两种算法来求解VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF

流形优化

也叫黎曼优化。本质上是一种梯度下降法，然而基本的梯度下降法是在整个欧式空间中进行下降，因此无法保证下降后的解仍满足恒模约束，所以无法直接用于求解VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF。而流形优化，则是首先将满足恒莫约束的所有可行解表示为一个流形，其后每步迭代后都将解映射回这个流形之上，也因此可以确保结果永远满足恒模约束。最重要的是，已经有严谨的数学证明了这样的迭代过程是严格收敛的，因此可以将流形优化理解为在可行集上进行下降的梯度下降法。

这里推荐大家去看

X. Yu, J. Shen, J. Zhang, and K. B. Letaief, “Alternating minimization algorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems,” IEEE J. Sel. Topics Signal Process., vol. 10, no. 3, pp. 485-500, Apr. 2016.
本文是借鉴和套用了他们工作提出的MO算法。区别在于，我们的目标函数不同，也因此得到了不同的性能。因为我们的目标函数更复杂也更直接一些（直接以MSE为目标），因此会有更好的性能。要想使用流形优化，你需要求解目标问题的梯度，然后就可以在这个框架下用下降法求出一个解了。感兴趣的读者可以看一下这篇引文和我的paper，基本就清楚MO的用法了。

GEVD算法

MO算法的性能卓绝，但是复杂度偏高，因此这里提出了一个低复杂度的算法 —— 基于GEVD（广义特征分解）。首先，基于一个常用的近似关系VRFHVRF≈NtINRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \approx N_{\mathrm{t}} \mathbf{I}_{N_{\mathrm{RF}}}VRFHVRF≈NtINRF，我们可以简化下目标函数：
J(VRF)≈tr⁡((INe+1σ2wNtH1HVRFVRFHH1)−1)J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right) \approx \operatorname{tr}\left(\left(\mathbf{I}_{N_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{\sigma^{2} w N_{\mathrm{t}}} \mathbf{H}_{1}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1}\right)^{-1}\right)J(VRF)≈tr((INe+σ2wNt1H1HVRFVRFHH1)−1)
但这个问题还是非常难以求解，因此我们提出了一种思路：固定VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF中的其余列，每次迭代只优化1列。通过数学变换，我们可以把问题转化为一个GEVD问题，并直接通过广义特征分解，得到那一列的最优解。经过多次迭代后，就可以得到一个不错的VRF\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}VRF。详细的推导也见paper。需要指出的是，在这个求解过程中，我们暂时忽略了恒模约束，因此事实上，我们每次通过特征分解得到一列解之后，需要对每个元素做一个模归一操作（相位提取）。这一步没有任何的收敛性可言，因此，这个算法相比于MO算法，没有严谨的收敛证明。然而幸运的是，在仿真中他还是表现出了随着迭代单调下降的特性。

波束成形设计：接收端

使用MSE为目标的另一妙处就是，你会发现固定发送端，求解接收端的时候，问题形式好发送端的形式一模一样。因此，我们可以直接套用发送端的算法，用于接收端的求解，而无需额外设计了。通过发送端和接收端的相互迭代，最终就可以得到一组性能优异的解。

拓展到宽带系统

宽带系统，现在主流一般指的就是OFDM系统了。

系统框图如图所示。对于数字波束成形而言，可以对每个子载波进行设计，因此从每个子载波来看，和窄带系统没有任何区别。但是问题就在于模拟波束成形，是对于所有子载波一致的。也因此，我们设计的时候需要的不是将某个子载波上的MSE最小化的模拟阵，而是一个可以将sum-MSE最小化的解，那么问题就变成：
mibject to VB,k,VRF,WU,k,WRF,βk∑k=0N−1MSEksubject to ∥Vk∥F2≤1∥VRF]ij∣=1,∀i,j∣[WRF]ml∣=1,∀m,l\begin{array}{cl} \underset{\mathbf{V}_{\mathrm{B}, k}, \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{W}_{\mathrm{U}, k}, \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}, \beta_{k}}{\text { mibject to }} & \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{MSE}_{k} \\ \text { subject to } & \left\|\mathbf{V}_{k}\right\|_{F}^{2} \leq 1 \\ & \left.\| \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right]_{i j} \mid=1, \forall i, j \\ & \left|\left[\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}\right]_{m l}\right|=1, \forall m, l \end{array}VB,k,VRF,WU,k,WRF,βk mibject to subject to ∑k=0N−1MSEk∥Vk∥F2≤1∥VRF]ij∣=1,∀i,j∣[WRF]ml∣=1,∀m,l

数字波束成形的求解和窄带一样——因为可以按每个子载波单独设计，这里直接列出结果：
VU,k=(VRFHH1,kH1,kHVRF+σ2wkVRFHVRF)−1VRFHH1,k\mathbf{V}_{\mathrm{U}, k}=\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1, k} \mathbf{H}_{1, k}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} w_{k} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)^{-1} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}_{1, k}VU,k=(VRFHH1,kH1,kHVRF+σ2wkVRFHVRF)−1VRFHH1,k
接下来还是对模拟波束成形的设计。
首先，流形优化算法可以很简单的拓展到宽带场景，本来难点就在于梯度的求解，但利用下式：
∇J(VRF)=∑k=0N−1∇Jk(VRF)\nabla J\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)=\sum_{k=0}^{N-1} \nabla J_{k}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)∇J(VRF)=k=0∑N−1∇Jk(VRF)
而∇Jk\nabla J_{k}∇Jk的表示式和窄带是一样的推导。有了梯度，那么流形优化算法仍能应用。
然而GEVD算法就没法简单的拓展了，因此，本文提出了基于特征值分解的EVD算法。复杂的目标显然无法直接使用EVD求解，所以需要进行一些近似。我们分别求取了原式的上界和下界，分别对应的提出了EVD-LB 和 EVD-UB算法。同样的，由于暂时的忽略了恒模约束，在求解完成后也需要一步相位提取操作，这也造成了算法并非严谨收敛。这里懒得一个个详述了， paper里有详细的推导。

仿真性能

窄带情形

宽带情形

总结

相比于其他相关的工作，本文提出的算法不仅在BER上有显著的飞跃，在Rate性能上也有不错的提升。这同时也说明了，除了以最主流的Rate指标为优化目标外， MSE也是一个可以考虑的准则。

混合波束成形| 论文：基于MMSE准则的混合波束成形算法

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前言

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波束成形设计：模拟波束成形

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GEVD算法

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拓展到宽带系统

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