波束成形的物理意义

如图，是在各种教材中经常看到的天线方向图。上图表示的是当前天线经过波束成形后在空间中指向 30度方向（一般考虑的方向是0-180度）。这里解释一下天线方向：
不失一般性的，一个MISO系统的接收信号（简洁起见，省略噪声）可以表示为：
y=hvx(1)\mathbf{y} = \mathbf{h}\mathbf{v}x \tag{1}y=hvx(1)
那么， 如何把数学建模里的代表波束成形向量的 v\mathbf{v}v 与我们平常所说的将天线阵列对准某个方向发射的物理意义对应呢？

正如我们生活中使用手电筒一样，把手电筒照向某个方向，其实就对应于最后某个方向是亮的，而其他方向是暗的。波束成形也是如此。让波束成形后的天线阵列所谓对准某一方向，指的就是在该方向上的信噪比显著地高于其他方向。

由于噪声的功率是一定的，信噪比其实就是(1)中y\mathbf{y}y的能量。也就是：
P=yHy=∣x∣2∣vHhHhvP=\mathbf{y}^H\mathbf{y}=|x|^2|\mathbf{v}^H\mathbf{h}^H\mathbf{h}\mathbf{v}P=yHy=∣x∣2∣vHhHhv

由于∣x∣2|x|^2∣x∣2也是相同的，因此对于同一波束成形的天线阵列，不同方向的信噪比就取决于∣hv∣2|\mathbf{h}\mathbf{v}|^2∣hv∣2.
这里先类比一下，方便大家理解物理意义：

手电筒	波束成形
改变手电筒的方向	改变天线阵列的波束成形向量
将手电筒照向某个方向	通过波束成形后天线阵列对准某个方向发送信号
某个方向的亮度	当前波束成形下某个方向的信噪比
将有限的能量聚焦于想看的方向	将有限的发送功率对准用户所在的方向

明白了物理意义，现在我们来看如何判断当前的某个v\mathbf{v}v，对应于朝向哪个方向发射。
首先，根据MISO信道的建模，我们有，对于某个方向 ϕ\phiϕ,
其对应的归一化ULA阵列信道为：
hULA(ϕ)=1N[1,e−jπcos⁡(ϕ),…,e−jπ(N−1)cos⁡(ϕ)]\mathbf{h}_{\mathrm{ULA}}(\phi)=\frac{1}{\sqrt{N}}\left[1, e^{-j \pi \cos(\phi)}, \ldots, e^{-j \pi(N-1) \cos (\phi)}\right]hULA(ϕ)=N1[1,e−jπcos(ϕ),…,e−jπ(N−1)cos(ϕ)]
将不同方向的信道络成一个大矩阵H\mathbf{H}H，其每一行对应于一个方向的hULA(ϕ)\mathbf{h}_{\mathrm{ULA}}(\phi)hULA(ϕ)信道，那么我们只需要计算 vHHHHv\mathbf{v}^H\mathbf{H}^H\mathbf{H}\mathbf{v}vHHHHv，就能得到一个列向量，其每一项代表了当前波束成形向量v\mathbf{v}v在这个方向上的能量大小。

通过天线方向图和Matlab实例说明

接下来通过实例来说明：
令
v=1N[1,ejπcos⁡(θ),…,ejπ(N−1)cos⁡(θ)]T\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{N}}\left[1, e^{j \pi \cos(\theta)}, \ldots, e^{j \pi(N-1) \cos (\theta)}\right]^Tv=N1[1,ejπcos(θ),…,ejπ(N−1)cos(θ)]T
这其实是将天线阵列对准 θ\thetaθ 方向发送的波束成形向量。
我们来验证他就是对准了 θ\thetaθ 方向，比如我们令其为空间30度方向。

N = 16;
idx = (0 : N-1)';
angle_set =  (1 : 1 : 360) / 180 * pi;
Hset = exp(1j * pi * idx * cos(angle_set));theta = 30;
x = exp(1j * pi * idx * cos(theta / 180 * pi));r =  Hset' * x;
polarplot(angle_set, abs(r))

运行后，就能得到文章开头的那张图了。这是一个极坐标图，可以清楚的看到，在30度方向上是能量最大的，而在其他绝大部分方向上，能量为0。这也就是我们一开始说的，通过有效的波束成形，可以将能量集中，让天线阵列对准某个方向发送。

也可以根据自己的画图需求改变一下坐标，比如将上面代码第三行替换为

angle_set =  (0 : 0.01 : 180) / 180 * pi;

就是画出0~180度的响应，并且将分辨率提升至0.01度。
效果如图：

我们可以试着改变NNN, 即天线数的大小。
如N = 64;

可以明显的看到，波束更窄了，能量更集中了。这也是为什么天线数越多，通信性能越好的原因，指向性也越为精准。

UPA的方向图

UPA的话就涉及两个角度了仰角 ϕ\phiϕ 和水平角 θ\thetaθ。因此很难用二维的图进行绘制。
这里给出代码，细节不再赘述，和ULA的方法类似：
效果图：

主函数main.m

clear
M = UPA_code3(16, 32);
phi =  -1 : 0.01 : 1;
theta = -1 : 0.01 : 1;
[aa, bb] = meshgrid(phi, theta);
Aset = []';G = zeros(512, 1);
G(256+11) = 1;
s = M * G;for i = 1 : length(phi)a = phi(i);for j = 1 : length(theta)tmp = acos(a);        b = theta(j) / sin(tmp);ar = UPA_arrayresponse2(16,32, acos(b), acos(a));C(j,i) = abs(s' * ar);end
endsurf(aa, bb, C)

调用的两个函数文件：

UPA_code3.m

function [Aset] = UPA_code3(P,Q)% P, Q: rows and columns of UPA
% theta, phi: AODs
Aset = [];
for n = 0 : 1 / P * pi : (P-1)/P*pifor m = 0 : 1 / Q * pi : (Q-1)/Q*piA = zeros(P, Q);for p = 1 : Pfor q = 1 : QA(p, q) = exp(1j*pi*(q-1)*cos(m) * sin(n)+1j*pi*(p-1)*cos(n));endenda = A(:);Aset = [Aset, a];end
end

UPA_arrayresponse2.m

function [A] = UPA_arrayresponse2(P,Q, theta, phi)% P, Q: rows and columns of UPA
% theta, phi: AODs
A = zeros(P, Q);
for p = 1 : Pfor q = 1 : QA(p, q) = exp(1j*pi*(q-1)*sin(phi)*cos(theta)+1j*pi*(p-1)*cos(phi));end
end A = A(:);

混合波束成形| 通过天线空间方向图理解波束成形的物理意义

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通过天线方向图和Matlab实例说明

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