多项式的余数定理及其应用(C++)

f(x)f(x)f(x) 是一个 NNN 次多项式： f(x)=a0+a1x+⋯+aNxNf(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_N x^Nf(x)=a0+a1x+⋯+aNxN

那么 f(x)f(x)f(x) 被 (x−c)(x - c)(x−c) 除得到的商等于 f(c)f(c)f(c)。也就是如果

f(x)=Q(x)(x−c)+rf(x) = Q(x) (x-c) + r \\ f(x)=Q(x)(x−c)+r

那么：r=f(c)r = f(c)r=f(c)

利用这个定理，可以将计算 f(c)f(c)f(c) 转化为计算 rrr。如果计算 rrr 有快速算法，那么就可以快速计算出 f(c)f(c)f(c)。下面就来推导如何计算 rrr。

设：
f(x)=∑i=0NaixiQ(x)=∑i=0N−1bixif(x) = \sum_{i=0}^{N} {a_i x^i} \\ Q(x) = \sum_{i=0}^{N-1} {b_i x^i} f(x)=i=0∑NaixiQ(x)=i=0∑N−1bixi

那么有：
∑i=0Naixi=(x−c)∑i=0N−1bixi+r=bN−1xN+∑i=1N−1(bi−1−cbi)xi−b0c+r\sum_{i=0}^{N} {a_i x^i} = (x -c)\sum_{i=0}^{N-1} {b_i x^i} + r \\ = b_{N-1} x^N + \sum_{i=1}^{N-1} {(b_{i-1} - c b_i) x^{i} } - b_0 c + r i=0∑Naixi=(x−c)i=0∑N−1bixi+r=bN−1xN+i=1∑N−1(bi−1−cbi)xi−b0c+r

两边同幂次的项相等：
aN=bN−1ai=bi−1−cbi,(i=1,2,⋯N−1)a0=−cb0+ra_N = b_{N-1} \\ a_i = b_{i -1} - c b_i, (i = 1, 2, \cdots N-1 )\\ a_0 = - c b_0 + r aN=bN−1ai=bi−1−cbi,(i=1,2,⋯N−1)a0=−cb0+r

所以：

bN−1=aNbi=ai+1+cbi+1r=a0+cb0b_{N-1} = a_N\\ b_i = a_{i+1} + c b_{i+1} \\ r = a_0 + c b_0 bN−1=aNbi=ai+1+cbi+1r=a0+cb0

了解多项式的 Horner 公式的人可能会发现，这里的公式怎么和 Horner 公式几乎一样。确实，这里其实就是 Horner 公式的另一种解释方法。

按照这个思路我们就可以写个 C 函数。

/*** @brief polydiv 计算 p(x) / (x - a) 的商和余数* @param p 多项式的系数，p0 .. pn* @param n 多项式的次数* @param q 结果返回 r, q0, q1, ... qn-1 ,注意第一个数是余数* @return 返回的也是余数，也等于 p(a) 的值*/
double polydiv(double p[], int n, double a, double q[])
{q[n] = p[n];for(int i = n - 1; i >= 0; i--){q[i] = p[i] + a * q[i+1];}return q[0];
}

当然，如果我们不需要返回 q[]，可以简化为：

/*** @brief polyeval 利用 Horner 公式计算多项式的值* @param p 多项式的系数 a0, a1, a2,\cdots a_n* @param n 多项式的次数 n* @param x 要计算的值* @return 返回多项式在 x 点的值*/
double polyeval(double p[], int n, double x)
{double r = 0;while (n >= 0){r = p[n] + r * x;n--;}return r;
}

实际上，我们还可以更进一步，考虑另一个问题。
f(x)f(x)f(x) 是一个 NNN 次多项式： f(x)=a0+a1x+⋯+aNxNf(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_N x^Nf(x)=a0+a1x+⋯+aNxN

有时我们需要将它变换为另一个等价的多项式 q(x)=b0+b1(x−c)+⋯+bN(x−c)Nq(x) = b_0 + b_1 (x-c) + \cdots + b_N (x-c)^Nq(x)=b0+b1(x−c)+⋯+bN(x−c)N

那么如何通过 a0,a1,⋯ ,aNa_0, a_1, \cdots , a_Na0,a1,⋯,aN 来得到 b0,b1,⋯ ,bNb_0, b_1, \cdots , b_Nb0,b1,⋯,bN。

我们同样设：
f(x)=Q1(x)(x−c)+r0f(x) = Q_1(x) (x-c) + r_0 \\ f(x)=Q1(x)(x−c)+r0

把 x=cx = cx=c 带入，可以很容易验证 b0=f(c)=r0b_0 = f(c) = r_0b0=f(c)=r0

再继续设：
Q1(x)=Q2(x)(x−c)+r1Q_1(x) = Q_2(x) (x-c) + r_1 \\ Q1(x)=Q2(x)(x−c)+r1

同样的方法可以验证：b1=Q1(c)=r1b_1 = Q_1(c) = r_1b1=Q1(c)=r1

这个过程反复做下去就可以依次得到 b0,b1,⋯ ,bNb_0, b_1, \cdots , b_{N}b0,b1,⋯,bN

这个计算过程张，系数的变化如下：

a0,a1,a2,a3,a4,⋯ ,aNr0,b0,b1,b2,b3,⋯ ,bN−1r0,r1,c0,c1,c2,⋯ ,cN−2r0,r1,r2,d0,d1,⋯ ,dN−3⋯r0,r1,r2,r3,r4,⋯ ,rNa_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots , a_N \\ r_0, b_0, b_1, b_2, b_3, \cdots, b_{N-1} \\ r_0, r_1, c_0, c_1, c_2, \cdots, c_{N-2} \\ r_0, r_1, r_2, d_0, d_1, \cdots, d_{N-3} \\ \cdots \\ r_0, r_1, r_2, r_3, r_4, \cdots, r_N a0,a1,a2,a3,a4,⋯,aNr0,b0,b1,b2,b3,⋯,bN−1r0,r1,c0,c1,c2,⋯,cN−2r0,r1,r2,d0,d1,⋯,dN−3⋯r0,r1,r2,r3,r4,⋯,rN

为了实现这个过程，我们需要对刚刚写的 polydiv 函数做些修改，让它在原位修改各个系数的值。

/*** @brief polydiv2 计算 p(x) / (x - a) 的除数和余数。* @param p 多项式的系数，p0 .. pn，同时计算结束后也返回 r, q0, q1, ... qn-1* @param n 多项式的次数* @param a* @return 返回的也是余数，也等于 p(a) 的值*/
double polydiv2(double p[], int n, double a)
{for(int i = n - 1; i >= 0; i--){p[i] = p[i] + a * p[i+1];}return p[0];
}/*** @brief polyshift 将 x 的多项式变换为 (x-a) 的多项式* @param p 多项式的系数，p0 .. pn, 计算结束后返回新的系数* @param n 多项式的次数* @param a 将  (x - a)*/
void polyshift(double p[], int n, double a)
{for(int i = n; i >= 1; i--){polydiv2(p, i, a);p++;}
}

下面是个测试用例：

有一个多项式：f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5f(x) = 1 +2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5
将其变换为 (x−5.5)(x- 5.5)(x−5.5) 的形式，用 Mathematica 可以算出是：
f(x)=35540.6+31177.4(x−5.5)+10959(x−5.5)2+1929(x−5.5)3+170(x−5.5)4+6(x−5.5)5f(x) = 35540.6 + 31177.4 (x-5.5) + 10959 (x-5.5)^2 + 1929 (x-5.5)^3 + 170 (x-5.5)^4 + 6 (x-5.5)^5 f(x)=35540.6+31177.4(x−5.5)+10959(x−5.5)2+1929(x−5.5)3+170(x−5.5)4+6(x−5.5)5

Mathematica 的代码如下：

p = 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5
Expand[p /. {x -> y + 5.5}] /. {y -> x - 5.5}

C++ 的验证代码如下：

    double ax[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};polyshift(ax, 5, 5.5);for(int i = 0; i <= 5; i++){std::cout << ax[i] << std::endl;}

计算结果如下：

35540.6
31177.4
10959
1929
170
6

说明这个代码是正确的。
至此，这个问题就算是比较圆满的解决了。

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