小蓝本第一本《因式分解技巧》第八章多项式的一次因式笔记（第八天）

前言
余数定理
有理根求法
- 第一步
- 第二步(可能有理根多的情况下，可以用)
- 第三步
- 快速识别特殊有理根
- - 情况1
  - 情况2
求解
注意
习题8
- 题目
- 题解
- 改错

前言

坚持的第8天，因为期末考试，小蓝本放海了n周，从今天开始继续

余数定理

用f(x)表示多项式用f(x)表示多项式用f(x)表示多项式 a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀

若用一个一次多项式 x−cx-cx−c 作除式去除多项式f(x)f(x)f(x),余式是一个数rrr，商式为多项式Q(x)Q(x)Q(x)

f(x)=(x−c)Q(x)+rf(x)=(x-c)Q(x)+rf(x)=(x−c)Q(x)+r

※ 重点来了，若使x=cx=cx=c 会得 f(c)=rf(c)=rf(c)=r, ∴ x−c除f(x)时，所得的余数为f(c)x-c除f(x)时，所得的余数为f(c)x−c除f(x)时，所得的余数为f(c),f(c)=0f(c)=0f(c)=0对因式分解结果是一个既约多项式有很大帮助。

当f(c)=0f(c)=0f(c)=0时，称c为多项式f(x)的根c为多项式f(x)的根c为多项式f(x)的根
综上可得到结论
∵f(c)=0f(c)=0f(c)=0
∴x−c是f(x)的因式x-c是f(x)的因式x−c是f(x)的因式
或
∵x−c是f(x)的因式x-c是f(x)的因式x−c是f(x)的因式
∴f(c)=0f(c)=0f(c)=0

有理根求法

说了这么多概念，还没提到有理根的求法。

若使f(c)=0f(c)=0f(c)=0且不知道任何有关结论，这无疑是大海捞针，下面提供3步确定有理根求法

第一步

假定f(x)f(x)f(x)是整系数多项式(及所有项的系数均为整数)，c=p/q（p,q为互质的整数）c=p/q（p,q为互质的整数）c=p/q（p,q为互质的整数）

∵ f(c)=0f(c)=0f(c)=0
∴ a_n(p/q)ⁿ + a_n-1(p/q)^n-1 + …… + a₁(p/q) + a₀ = 0
等式 2边同乘qnq^nqn
∴a_npⁿ + a_n-1p^n-1q + …… + a₁pq^n-1 + a₀qⁿ = 0

∵等式右边分别被p和q整除
∴a_n被q整除，a₀被p整除

综上 有理根c=p/qc=p/qc=p/q的分子p是常数项a₀的因数，分母q是首项系数a_n的因数

第二步(可能有理根多的情况下，可以用)

Q(x)是整系数多项式的证明过程（f(x)也是整系数多项式f(x)也是整系数多项式f(x)也是整系数多项式）

判别法：f(x)f(x)f(x)是整系数多项式，经过第一步的处理，如果q−pq-pq−p不是f(1)f(1)f(1)的因数时，那么p/qp/qp/q不是f(x)f(x)f(x)的根

证明:
假设p/q是f(x)f(x)f(x)的根
f(x)=(qx−p)Q(x)f(x)=(qx-p)Q(x)f(x)=(qx−p)Q(x)
若x=1
f(1)=(q−p)Q(1)f(1)=(q-p)Q(1)f(1)=(q−p)Q(1)
∵Q(x)是整系数多项式
∴Q(1)是整数(才有因数)
∴q−pq-pq−p不是f(1)f(1)f(1)的因数时，p/qp/qp/q不是f(x)的根f(x)的根f(x)的根

第三步

若经过前2步仍旧有很多根的可能，直接一一代入

快速识别特殊有理根

情况1

∵f(x)f(x)f(x)的所有系数之和为0
∴f(x)f(x)f(x)的根为1

情况2

∵f(x)f(x)f(x)所有奇次项系数之和 = 所有偶次项系数之和
∴f(x)f(x)f(x)的根为-1

求解

主要运用到拆项和提公因式内容
https://cnbjhacker.blog.csdn.net/article/details/128226734 提公因式
https://cnbjhacker.blog.csdn.net/article/details/128272204 拆项

注意

当c=p/q(q>1)c=p/q(q>1)c=p/q(q>1)（根为分数） x−p/q推成qx−px-p/q 推成 qx-px−p/q推成qx−p

习题8

题目

题解

改错

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第二步(可能有理根多的情况下，可以用)

第三步

快速识别特殊有理根

情况1

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