cccc L2-018. 多项式A除以B

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【转自   Daemoonn   】

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直接看到这题，我是没看懂的。然后就放哪里，没有写。后来看了多项式除法的一个视频，（网易公开课里面的）才会多项式除法。然后发现Daemoonn 写的比较清楚，好记。 拿来做模板吧。

计算

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.}

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.}

然后商和余数可以这样计算：

1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x³ ÷ x = x²).

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

   }}

2. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x² · (x − 3) = x³ − 3x²).

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2

   }}

3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x³ − 12x²) − (x³ − 3x²) = −12x² + 3x² = −9x²)然后，将分子的下一项“拿下来”。

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−9x2+0x

   }}

4. 把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）

   {\displaystyle {

   x2−9xx−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−−−9x2+0x−9x2+27x−−−−−−−−−−27x−42

   }}

5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

   {\displaystyle {

   x2−9x−27x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−−−9x2+0x−9x2+27x−−−−−−−−−−27x−42−27x+81−−−−−−−−−−123

   }}

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}}

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

除法变换[编辑]

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

{\displaystyle {\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).}

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 {\displaystyle {\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }}.^[1] 得到的。

应用[编辑]

多项式的因式分解[编辑]

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个{\displaystyle n}次多项式 {\displaystyle P(x)}的一个根{\displaystyle r}已知，那么{\displaystyle P(x)} 可以使用多项式长除法因式分解为{\displaystyle (x-r)Q(x)}的形式，其中{\displaystyle Q(x)}是一个{\displaystyle n-1}次的多项式。简单来说，{\displaystyle Q(x)}就是长除法的商，而又知{\displaystyle r}是{\displaystyle P(x)}的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知{\displaystyle r}和{\displaystyle s}这两个，那么可以先从{\displaystyle P(x)}中除掉线性因子{\displaystyle x-r}得到{\displaystyle Q(x)}，再从{\displaystyle Q(x)}中除掉 {\displaystyle x-s}，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子{\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs}。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线[编辑]

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。^[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)² 的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。

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1. #include<iostream>
2. #include<string>
3. #include<stdio.h>
4. #include<string.h>
5. #include<map>
6. #include<queue>
7. #include<math.h>
8. #include<algorithm>
9. using namespace std;
10. const int maxn=1e6+100;
11. int x,lena,lenb,maxa=-1,maxb=-1,cntc,cnta;
12. double y,a[maxn],b[maxn],c[maxn];
13. int input(int len,double *arr, int *maxx){
14. for(int i=0;i<len;++i){
15. scanf("%d%lf",&x,&y);
16. arr[x]=y;
17. *maxx=max(*maxx,x);
18. }
19. }
20. void clearzoro(int &cnt,int be,double *arr){
21. cnt=0;
22. for(int i=be;i>=0;--i){
23. if(!fabs(arr[i])<1e-8)
24. fabs(arr[i])<0.05?arr[i]=0.0:cnt++;
25. }
26. }
27. void output(int cnt,int be,double *arr){
28. if(cnt==0) puts("0 0 0.0");
29. else {
30. printf("%d",cnt);
31. for(int i=be;i>=0;--i){
32. if(!fabs(arr[i])<1e-8) printf(" %d %.1lf",i,arr[i]);
33. }
34. puts("");
35. }
36. }
37. int main(){
38. scanf("%d",&lena);
39. input(lena,a,&maxa);
40. scanf("%d",&lenb);
41. input(lenb,b,&maxb);
42. for(int i=maxa;i>=maxb;--i){
43. c[i-maxb]=a[i]/b[maxb];
44. for(int j=maxb;j>=0;--j)
45. a[j+i-maxb]-=b[j]*c[i-maxb];
46. }
47. clearzoro(cntc,maxa-maxb,c);
48. clearzoro(cnta,maxb,a);
49. output(cntc,maxa-maxb,c);
50. output(cnta,maxb-1,a);
51. return 0;
52. }