高等数学（第七版）同济大学习题1-3 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题1-3

1. 对图 1 − 26 所示的函数 f ( x ) ，求下列极限，如极限不存在，说明理由。 \begin{aligned}&1. \ 对图1-26所示的函数f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理由。&\end{aligned} 1. 对图1−26所示的函数f(x)，求下列极限，如极限不存在，说明理由。

( 1 ) lim ⁡ x → − 2 f ( x ) ； ( 2 ) lim ⁡ x → − 1 f ( x ) ； ( 3 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow -2}f(x)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow -1}f(x)；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \\\\ & \end{aligned} (1) x→−2limf(x)； (2) x→−1limf(x)； (3) x→0limf(x)

解：

( 1 ) 极限存在， lim ⁡ x → − 2 f ( x ) = 0 。 ( 2 ) 极限存在， lim ⁡ x → − 1 f ( x ) = − 1 。 ( 3 ) 极限不存在， lim ⁡ x → 0 − f ( x ) = − 1 ， lim ⁡ x → 0 + f ( x ) = 1 ，左极限和右极限不相等，所以极限不存在。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 极限存在，\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=0。\\\\ &\ \ (2)\ 极限存在，\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-1。\\\\ &\ \ (3)\ 极限不存在，\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=-1，\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=1，左极限和右极限不相等，所以极限不存在。\\\\ & \end{aligned} (1) 极限存在，x→−2limf(x)=0。 (2) 极限存在，x→−1limf(x)=−1。 (3) 极限不存在，x→0−limf(x)=−1，x→0+limf(x)=1，左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

2. 对图 1 − 27 所示的函数 f ( x ) ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ \begin{aligned}&2. \ 对图1-27所示的函数f(x)，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ &\end{aligned} 2. 对图1−27所示的函数f(x)，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

( 1 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) 不存在； ( 2 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 0 ； ( 3 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 1 ( 4 ) lim ⁡ x → 1 f ( x ) = 0 ； ( 5 ) lim ⁡ x → 1 f ( x ) 不存在； ( 6 ) 对每个 x 0 ∈ ( − 1 , 1 ) ， lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 存在。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow0}f(x)不存在；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x\rightarrow1}f(x)=0；\\\\ &\ \ (5)\ \lim_{x\rightarrow1}f(x)不存在；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ 对每个x_0 \in (-1, \ 1)，\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在。\\\\ & \end{aligned} (1) x→0limf(x)不存在； (2) x→0limf(x)=0； (3) x→0limf(x)=1 (4) x→1limf(x)=0； (5) x→1limf(x)不存在； (6) 对每个x0∈(−1, 1)，x→x0limf(x)存在。

解：

( 1 ) 错，极限存在， lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 0 。 ( 2 ) 对。 ( 3 ) 错，极限为 0 。 ( 4 ) 错，极限不存在， lim ⁡ x → 1 − f ( x ) = − 1 ， lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = 1 ，左右极限不相等，所以极限不存在。 ( 5 ) 对。 ( 6 ) 对。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 错，极限存在，\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0。\\\\ &\ \ (2)\ 对。\\\\ &\ \ (3)\ 错，极限为0。\\\\ &\ \ (4)\ 错，极限不存在，\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=-1，\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=1，左右极限不相等，所以极限不存在。\\\\ &\ \ (5)\ 对。\\\\ &\ \ (6)\ 对。\\\\ & \end{aligned} (1) 错，极限存在，x→0limf(x)=0。 (2) 对。 (3) 错，极限为0。 (4) 错，极限不存在，x→1−limf(x)=−1，x→1+limf(x)=1，左右极限不相等，所以极限不存在。 (5) 对。 (6) 对。

3. 对图 1 − 28 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ \begin{aligned}&3. \ 对图1-28所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ &\end{aligned} 3. 对图1−28所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

( 1 ) lim ⁡ x → − 1 + f ( x ) = 1 ； ( 2 ) lim ⁡ x → − 1 − f ( x ) 不存在； ( 3 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 0 ( 4 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 1 ； ( 5 ) lim ⁡ x → 1 − f ( x ) = 1 ； ( 6 ) lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = 0 ； ( 7 ) lim ⁡ x → 2 − f ( x ) = 0 ； ( 8 ) lim ⁡ x → 2 f ( x ) = 0 ； \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x\rightarrow -1^-}f(x)不存在；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=1；\\\\ &\ \ (5)\ \lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \lim_{x \rightarrow1^+}f(x)=0；\\\\ &\ \ (7)\ \lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \lim_{x \rightarrow2}f(x)=0；\\\\ & \end{aligned} (1) x→−1+limf(x)=1； (2) x→−1−limf(x)不存在； (3) x→0limf(x)=0 (4) x→0limf(x)=1； (5) x→1−limf(x)=1； (6) x→1+limf(x)=0； (7) x→2−limf(x)=0； (8) x→2limf(x)=0；

解：

( 1 ) 对。 ( 2 ) 对。 ( 3 ) 对。 ( 4 ) 错。 lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 0 ，而 f ( 0 ) = 1 。 ( 5 ) 对。 ( 6 ) 对。 ( 7 ) 对。 ( 8 ) 错。 lim ⁡ x → 2 − f ( x ) = 0 ， lim ⁡ x → 2 + f ( x ) 不存在，所以极限不存在。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 对。\\\\ &\ \ (2)\ 对。\\\\ &\ \ (3)\ 对。\\\\ &\ \ (4)\ 错。\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0，而f(0)=1。\\\\ &\ \ (5)\ 对。\\\\ &\ \ (6)\ 对。\\\\ &\ \ (7)\ 对。\\\\ &\ \ (8)\ 错。\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=0，\lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)不存在，所以极限不存在。\\\\ & \end{aligned} (1) 对。 (2) 对。 (3) 对。 (4) 错。x→0limf(x)=0，而f(0)=1。 (5) 对。 (6) 对。 (7) 对。 (8) 错。x→2−limf(x)=0，x→2+limf(x)不存在，所以极限不存在。

4. 求 f ( x ) − x x ， φ ( x ) = ∣ x ∣ x 当 x → 0 时的左、右极限，并说明它们在 x → 0 时的极限是否存在 \begin{aligned}&4. \ 求f(x)-\frac{x}{x}，\varphi(x)=\frac{|x|}{x}当x\rightarrow0时的左、右极限，并说明它们在x\rightarrow0时的极限是否存在&\end{aligned} 4. 求f(x)−xx，φ(x)=x∣x∣当x→0时的左、右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在

解：

lim ⁡ x → 0 − f ( x ) = x x = 1 ， lim ⁡ x → 0 + f ( x ) = x x = 1 ，因为 lim ⁡ x → 0 − f ( x ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) ，所以 lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 1 。 lim ⁡ x → 0 − φ ( x ) = − x x = − 1 ， lim ⁡ x → 0 + φ ( x ) = x x = 1 ，因为 lim ⁡ x → 0 − φ ( x ) ≠ lim ⁡ x → 0 + φ ( x ) ，所以 lim ⁡ x → 0 φ ( x ) 的极限不存在。 \begin{aligned} &\ \ \lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)=\frac{x}{x}=1，\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=\frac{x}{x}=1，因为\lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)，所以\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=1。\\\\ &\ \ \lim_{x \rightarrow 0^-}\varphi(x)=\frac{-x}{x}=-1，\lim_{x \rightarrow 0^+}\varphi(x)=\frac{x}{x}=1，因为\lim_{x \rightarrow 0^-}\varphi(x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+}\varphi(x)，所以\lim_{x \rightarrow 0}\varphi(x)的极限不存在。\\\\ & \end{aligned} x→0−limf(x)=xx=1，x→0+limf(x)=xx=1，因为x→0−limf(x)=x→0+limf(x)，所以x→0limf(x)=1。 x→0−limφ(x)=x−x=−1，x→0+limφ(x)=xx=1，因为x→0−limφ(x)=x→0+limφ(x)，所以x→0limφ(x)的极限不存在。

5. 根据函数极限的定义证明： \begin{aligned}&5. \ 根据函数极限的定义证明：&\end{aligned} 5. 根据函数极限的定义证明：

( 1 ) lim ⁡ x → 3 ( 3 x − 1 ) = 8 ； ( 2 ) lim ⁡ x → 2 ( 5 x + 2 ) = 12 ； ( 3 ) lim ⁡ x → − 2 x 2 − 4 x + 2 = − 4 ； ( 4 ) lim ⁡ x → 1 2 1 − 4 x 2 2 x + 1 = 2 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow 3}(3x-1)=8；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x \rightarrow 2}(5x+2)=12；\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4； \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2\\\\ & \end{aligned} (1) x→3lim(3x−1)=8； (2) x→2lim(5x+2)=12； (3) x→−2limx+2x2−4=−4； (4) x→21lim2x+11−4x2=2

解：

( 1 ) 因为 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ = ∣ 3 x − 9 ∣ = 3 ∣ x − 3 ∣ ，要使 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ < ε ，只要 ∣ x − 3 ∣ < ε 3 ，所以 ∀ ε > 0 ，取 δ = ε 3 ，则当 0 < ∣ x − 3 ∣ < δ 时，就有 ∣ ( 3 x − 1 ) − 8 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → 3 ( 3 x − 1 ) = 8 。 ( 2 ) 因为 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ = ∣ 5 x − 10 ∣ = 5 ∣ x − 2 ∣ ，要使 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ < ε ，只要 ∣ x − 2 ∣ < ε 5 ，所以 ∀ ε > 0 ，取 δ = ε 5 ，则当 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ 时，就有 ∣ ( 5 x + 2 ) − 12 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → 2 ( 5 x + 2 ) = 12 ( 3 ) 因为 x → − 2 ， x ≠ − 2 ， ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ = ∣ ( x + 2 ) 2 x + 2 ∣ = ∣ x − ( − 2 ) ∣ ，要使 ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ < ε ，只要 ∣ x − ( − 2 ) ∣ < ε ，所以 ∀ ε > 0 ，取 δ = ε ，则当 0 < ∣ x − ( − 2 ) ∣ < δ 时，就有 ∣ x 2 − 4 x + 2 − ( − 4 ) ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → − 2 x 2 − 4 x + 2 = − 4 。 ( 4 ) 因为 x → − 1 2 ， x ≠ − 1 2 ， ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ = ∣ 1 − 2 x − 2 ∣ = 2 ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ ，要使 ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ < ε ，只要 ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ < ε 2 ，所以 ∀ ε > 0 ，取 δ = ε 2 ，则当 0 < ∣ x − ( − 1 2 ) ∣ < δ 时，就有 ∣ 1 − 4 x 2 2 x + 1 − 2 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → 1 2 1 − 4 x 2 2 x + 1 = 2 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|，要使|(3x-1)-8| \lt \varepsilon，只要|x-3| \lt \frac{\varepsilon}{3}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{3}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当0 \lt |x-3| \lt \delta时，就有|(3x-1)-8| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow 3}(3x-1)=8。\\\\ &\ \ (2)\ 因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|，要使|(5x+2)-12| \lt \varepsilon，只要|x-2| \lt \frac{\varepsilon}{5}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{5}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当0 \lt |x-2| \lt \delta时，就有|(5x+2)-12| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow 2}(5x+2)=12\\\\ &\ \ (3)\ 因为x \rightarrow -2，x \neq -2，\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right|=\left|\frac{(x+2)^2}{x+2}\right|=|x-(-2)|，要使\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right| \lt \varepsilon，只要|x-(-2)| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\varepsilon，则当0 \lt |x-(-2)| \lt \delta时，就有\left|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)\right| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4。\\\\ &\ \ (4)\ 因为x \rightarrow -\frac{1}{2}，x \neq -\frac{1}{2}，\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right|=|1-2x-2|=2\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|，要使\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 只要\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取\delta=\frac{\varepsilon}{2}，则当0 \lt \left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right| \lt \delta时，就有\left|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\right| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2。\\\\ & \end{aligned} (1) 因为∣(3x−1)−8∣=∣3x−9∣=3∣x−3∣，要使∣(3x−1)−8∣<ε，只要∣x−3∣<3ε，所以∀ ε>0，取δ=3ε，则当0<∣x−3∣<δ时，就有∣(3x−1)−8∣<ε，即x→3lim(3x−1)=8。 (2) 因为∣(5x+2)−12∣=∣5x−10∣=5∣x−2∣，要使∣(5x+2)−12∣<ε，只要∣x−2∣<5ε，所以∀ ε>0，取δ=5ε，则当0<∣x−2∣<δ时，就有∣(5x+2)−12∣<ε，即x→2lim(5x+2)=12 (3) 因为x→−2，x=−2，∣∣∣∣x+2x2−4−(−4)∣∣∣∣=∣∣∣∣x+2(x+2)2∣∣∣∣=∣x−(−2)∣，要使∣∣∣∣x+2x2−4−(−4)∣∣∣∣<ε，只要∣x−(−2)∣<ε，所以∀ ε>0，取δ=ε，则当0<∣x−(−2)∣<δ时，就有∣∣∣∣x+2x2−4−(−4)∣∣∣∣<ε，即x→−2limx+2x2−4=−4。 (4) 因为x→−21，x=−21，∣∣∣∣2x+11−4x2−2∣∣∣∣=∣1−2x−2∣=2∣∣∣∣x−(−21)∣∣∣∣，要使∣∣∣∣2x+11−4x2−2∣∣∣∣<ε，只要∣∣∣∣x−(−21)∣∣∣∣<2ε，所以∀ ε>0，取δ=2ε，则当0<∣∣∣∣x−(−21)∣∣∣∣<δ时，就有∣∣∣∣2x+11−4x2−2∣∣∣∣<ε，即x→21lim2x+11−4x2=2。

6. 根据函数极限的定义证明： \begin{aligned}&6. \ 根据函数极限的定义证明：&\end{aligned} 6. 根据函数极限的定义证明：

( 1 ) lim ⁡ x → ∞ 1 + x 3 2 x 3 = 1 2 ； ( 2 ) lim ⁡ x → + ∞ s i n x x = 0 ； \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{sin\ x}{\sqrt{x}}=0；\\\\ & \end{aligned} (1) x→∞lim2x31+x3=21； (2) x→+∞limx sin x=0；

解：

( 1 ) 因为 ∣ 1 + x 3 2 x 3 − 1 2 ∣ = 1 2 ∣ x ∣ 3 ，要使 ∣ 1 + x 3 2 x 3 − 1 2 ∣ < ε ，只要 1 2 ∣ x ∣ 3 < ε ，即 ∣ x ∣ > 1 2 ε 3 ，所以 ∀ ε > 0 ，取 X = 1 2 ε 3 ，则当 ∣ x ∣ > X 时，就有 ∣ 1 + x 3 2 x 3 − 1 2 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → ∞ 1 + x 3 2 x 3 = 1 2 。 ( 2 ) 因为 ∣ s i n x x − 0 ∣ ≤ 1 x ，要使 ∣ s i n x x − 0 ∣ < ε ，只要 1 x < ε ，即 x > 1 ε 2 ，所以 ∀ ε > 0 ，取 X = 1 ε 2 ，则当 x > X 时，就有 ∣ s i n x x − 0 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → + ∞ s i n x x = 0 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\left|\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2|x|^3}，要使\left|\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}\right| \lt \varepsilon，只要\frac{1}{2|x|^3} \lt \varepsilon，即|x| \gt \frac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取X=\frac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当|x| \gt X时，就有\left|\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}\right| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\left|\frac{sin\ x}{\sqrt{x}}-0\right| \le \frac{1}{\sqrt{x}}，要使\left|\frac{sin\ x}{\sqrt{x}}-0\right| \lt \varepsilon，只要\frac{1}{\sqrt{x}} \lt \varepsilon，即x \gt \frac{1}{\varepsilon^2}，所以\forall\ \varepsilon \gt 0，取X=\frac{1}{\varepsilon^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则当x \gt X时，就有\left|\frac{sin\ x}{\sqrt{x}}-0\right| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{sin\ x}{\sqrt{x}}=0。\\\\ & \end{aligned} (1) 因为∣∣∣∣2x31+x3−21∣∣∣∣=2∣x∣31，要使∣∣∣∣2x31+x3−21∣∣∣∣<ε，只要2∣x∣31<ε，即∣x∣>32ε 1，所以∀ ε>0，取X=32ε 1，则当∣x∣>X时，就有∣∣∣∣2x31+x3−21∣∣∣∣<ε，即x→∞lim2x31+x3=21。 (2) 因为∣∣∣∣x sin x−0∣∣∣∣≤x 1，要使∣∣∣∣x sin x−0∣∣∣∣<ε，只要x 1<ε，即x>ε21，所以∀ ε>0，取X=ε21，则当x>X时，就有∣∣∣∣x sin x−0∣∣∣∣<ε，即x→+∞limx sin x=0。

7. 当 x → 2 时， y = x 2 → 4 。问 δ 等于多少，使当 ∣ x − 2 ∣ < δ 时， ∣ y − 4 ∣ < 0.001 ？ \begin{aligned}&7. \ 当x \rightarrow 2时，y=x^2 \rightarrow 4。问\delta等于多少，使当|x-2| \lt \delta时，|y-4| \lt 0.001？&\end{aligned} 7. 当x→2时，y=x2→4。问δ等于多少，使当∣x−2∣<δ时，∣y−4∣<0.001？

解：

由于 x → 2 ， ∣ x − 2 ∣ → 0 ，设 ∣ x − 2 ∣ < 1 ，即 1 < x < 3 。要使 ∣ x 2 − 4 ∣ = ∣ x + 2 ∣ ∣ x − 2 ∣ < 5 ∣ x − 2 ∣ < 0.001 ，只要 ∣ x − 2 ∣ < 0.001 5 = 0.0002 ，取 δ = 0.0002 ，则当 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ 时，就有 ∣ x 2 − 4 ∣ < 0.001 。 \begin{aligned} &\ \ 由于x \rightarrow 2，|x-2| \rightarrow 0，设|x-2| \lt 1，即1 \lt x \lt 3。要使|x^2-4|=|x+2||x-2| \lt 5|x-2| \lt 0.001，\\\\ &\ \ 只要|x-2| \lt \frac{0.001}{5}=0.0002，取\delta=0.0002，则当0 \lt |x-2| \lt \delta时，就有|x^2-4| \lt 0.001。 & \end{aligned} 由于x→2，∣x−2∣→0，设∣x−2∣<1，即1<x<3。要使∣x2−4∣=∣x+2∣∣x−2∣<5∣x−2∣<0.001，只要∣x−2∣<50.001=0.0002，取δ=0.0002，则当0<∣x−2∣<δ时，就有∣x2−4∣<0.001。

8. 当 x → ∞ 时， y = x 2 − 1 x 2 + 3 → 1 。问 X 等于多少，使当 ∣ x ∣ > X 时， ∣ y − 1 ∣ < 0.01 ？ \begin{aligned}&8. \ 当x \rightarrow \infty时，y=\frac{x^2-1}{x^2+3} \rightarrow 1。问X等于多少，使当|x| \gt X时，|y-1| \lt 0.01？&\end{aligned} 8. 当x→∞时，y=x2+3x2−1→1。问X等于多少，使当∣x∣>X时，∣y−1∣<0.01？

解：

因为 ∣ x 2 − 1 x 2 + 3 − 1 ∣ = 4 x 2 + 3 < 4 x 2 ，要使 ∣ x 2 − 1 x 2 + 3 − 1 ∣ < 0.01 ，只要 4 x 2 < 0.01 ，即 ∣ x ∣ > 20 ，取 X = 20 ，则当 ∣ x ∣ > X 时，就有 ∣ y − 1 ∣ < 0.01 。 \begin{aligned} &\ \ 因为\left|\frac{x^2-1}{x^2+3}-1\right|=\frac{4}{x^2+3} \lt \frac{4}{x^2}，要使\left|\frac{x^2-1}{x^2+3}-1\right| \lt 0.01，只要\frac{4}{x^2} \lt 0.01，即|x| \gt 20，取X=20，\\\\ &\ \ 则当|x| \gt X时，就有|y-1| \lt 0.01。 & \end{aligned} 因为∣∣∣∣x2+3x2−1−1∣∣∣∣=x2+34<x24，要使∣∣∣∣x2+3x2−1−1∣∣∣∣<0.01，只要x24<0.01，即∣x∣>20，取X=20，则当∣x∣>X时，就有∣y−1∣<0.01。

9. 证明函数 f ( x ) = ∣ x ∣ 当 x → 0 时极限为零。 \begin{aligned}&9. \ 证明函数f(x)=|x|当x \rightarrow 0时极限为零。&\end{aligned} 9. 证明函数f(x)=∣x∣当x→0时极限为零。

解：

因为 ∣ ∣ x ∣ − 0 ∣ = ∣ x ∣ = ∣ x − 0 ∣ ，所以 ∀ ε > 0 ，取 δ = ε ，则当 0 < ∣ x − 0 ∣ < δ 时，就有 ∣ ∣ x ∣ − 0 ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ = 0 。 \begin{aligned} &\ \ 因为||x|-0|=|x|=|x-0|，所以\forall \ \varepsilon \gt 0，取\delta=\varepsilon，则当0 \lt |x-0| \lt \delta时，就有||x|-0| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow 0}|x|=0。\\\\ & \end{aligned} 因为∣∣x∣−0∣=∣x∣=∣x−0∣，所以∀ ε>0，取δ=ε，则当0<∣x−0∣<δ时，就有∣∣x∣−0∣<ε，即x→0lim∣x∣=0。

10. 证明：若 x → + ∞ 及 x → − ∞ 时，函数 f ( x ) 的极限都存在且都等于 A ，则 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A 。 \begin{aligned}&10. \ 证明：若x \rightarrow +\infty及x \rightarrow -\infty时，函数f(x)的极限都存在且都等于A，则\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A。&\end{aligned} 10. 证明：若x→+∞及x→−∞时，函数f(x)的极限都存在且都等于A，则x→∞limf(x)=A。

解：

因 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A ，所以 ∀ ε > 0 ， ∃ X 1 > 0 ，当 x > X 1 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε 。又因为 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A ，所以 ∀ ε > 0 ， ∃ X 2 > 0 ，当 x < − X 2 > 0 ，当 x < − X 2 时，就有取 X = m a x { X 1 ， X 2 } ，则当 ∣ x ∣ > X ，即 x > X 或 x < − X 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A 。 \begin{aligned} &\ \ 因\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=A，所以\forall \ \varepsilon \gt 0，\exists X_1 \gt 0，当x \gt X_1时，就有|f(x)-A| \lt \varepsilon。\\\\ &\ \ 又因为\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=A，所以\forall \ \varepsilon \gt 0，\exists X_2 \gt 0，当x \lt -X_2 \gt 0，当x \lt -X_2时，就有取X=max\{X_1，\ X_2\}， \\\\ &\ \ 则当|x| \gt X，即x \gt X或x \lt -X时，就有|f(x)-A| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A。\\\\ & \end{aligned} 因x→+∞limf(x)=A，所以∀ ε>0，∃X1>0，当x>X1时，就有∣f(x)−A∣<ε。又因为x→−∞limf(x)=A，所以∀ ε>0，∃X2>0，当x<−X2>0，当x<−X2时，就有取X=max{X1， X2}，则当∣x∣>X，即x>X或x<−X时，就有∣f(x)−A∣<ε，即x→∞limf(x)=A。

11. 根据函数极限的定义证明：函数 f ( x ) 当 x → x 0 时极限存在的充分必要条件时左击限、右极限各自存在并且相等。 \begin{aligned}&11. \ 根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x \rightarrow x_0时极限存在的充分必要条件时左击限、右极限各自存在并且相等。&\end{aligned} 11. 根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件时左击限、右极限各自存在并且相等。

解：

必要性若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ，则 ∀ ε > 0 ， ∃ δ > 0 ，当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε 。特别，当 0 < x − x 0 < δ 时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A ；当 0 < x 0 − x < δ 时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A 。充分性若 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) ，则 ∀ ε > 0 ， ∃ δ 1 > 0 ，当 0 < x − x 0 < δ 1 是，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε ；又 ∃ δ 2 > 0 ，当 0 < x 0 − x < δ 2 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε 。取 δ = m i n { δ 1 ， δ 2 } ，则当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε ，即 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 。 \begin{aligned} &\ \ 必要性\\\\ &\ \ 若\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A，则\forall \ \varepsilon \gt 0，\exists \delta \gt 0，当0 \lt |x-x_0| \lt \delta时，就有|f(x)-A|< \varepsilon。\\\\ &\ \ 特别，当0 \lt x-x_0 \lt \delta时，有|f(x)-A| \lt \varepsilon，即\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=A；当0 \lt x_0-x \lt \delta时，有|f(x)-A| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ 即\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=A。\\\\ &\ \ 充分性\\\\ &\ \ 若\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=A=\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)，则\forall \ \varepsilon \gt 0，\exists \ \delta_1 \gt 0，当0 \lt x-x_0 \lt \delta_1是，就有|f(x)-A| \lt \varepsilon；又\exists \ \delta_2 \gt 0，\\\\ &\ \ 当0 \lt x_0-x \lt \delta_2时，就有|f(x)-A| \lt \varepsilon。取\delta=min\{\delta_1，\ \delta_2\}，则当0 \lt |x-x_0| \lt \delta时，就有|f(x)-A| \lt \varepsilon，\\\\ &\ \ 即\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A。 & \end{aligned} 必要性若x→x0limf(x)=A，则∀ ε>0，∃δ>0，当0<∣x−x0∣<δ时，就有∣f(x)−A∣<ε。特别，当0<x−x0<δ时，有∣f(x)−A∣<ε，即x→x0+limf(x)=A；当0<x0−x<δ时，有∣f(x)−A∣<ε，即x→x0−limf(x)=A。充分性若x→x0+limf(x)=A=x→x0−limf(x)，则∀ ε>0，∃ δ1>0，当0<x−x0<δ1是，就有∣f(x)−A∣<ε；又∃ δ2>0，当0<x0−x<δ2时，就有∣f(x)−A∣<ε。取δ=min{δ1， δ2}，则当0<∣x−x0∣<δ时，就有∣f(x)−A∣<ε，即x→x0limf(x)=A。

12. 试给出 x → ∞ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。 \begin{aligned}&12. \ 试给出x \rightarrow \infty时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。&\end{aligned} 12. 试给出x→∞时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。

解：

因为 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A ，所以对 ε = 1 > 0 ， ∃ X > 0 ，当 ∣ x ∣ > X 时，就有 ∣ f ( x ) − A ∣ < 1 ，从而 ∣ f ( x ) ∣ ≤ ∣ f ( x ) − A ∣ + ∣ A ∣ < 1 + ∣ A ∣ ，取 M = ∣ A ∣ + 1 ，即有当 ∣ x ∣ > X 时， ∣ f ( x ) ∣ ≤ M 。 \begin{aligned} &\ \ 因为\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=A，所以对\varepsilon=1 \gt 0，\exists \ X \gt 0，当|x| \gt X时，就有|f(x)-A| \lt 1，\\\\ &\ \ 从而|f(x)| \le |f(x)-A|+|A| \lt 1+|A|，取M=|A|+1，即有当|x| \gt X时，|f(x)| \le M。\\\\ & \end{aligned} 因为x→∞limf(x)=A，所以对ε=1>0，∃ X>0，当∣x∣>X时，就有∣f(x)−A∣<1，从而∣f(x)∣≤∣f(x)−A∣+∣A∣<1+∣A∣，取M=∣A∣+1，即有当∣x∣>X时，∣f(x)∣≤M。