【课后习题】高等数学第七版上第一章函数与极限第六节极限存在准则两个重要极限

2024-06-06 15:07:07

习题1-6

1. 计算下列极限：

(1) lim⁡x→0sin⁡ωxx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \omega x}{x}limx→0xsinωx;

(2) lim⁡x→0tan⁡3xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{x}limx→0xtan3x;

(3) lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin 5 x}limx→0sin5xsin2x;

(4) lim⁡x→0xcot⁡x\lim _{x \rightarrow 0} x \cot xlimx→0xcotx;

(5) lim⁡x→01−cos⁡2xxsin⁡x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}limx→0xsinx1−cos2x;

(6) lim⁡n→∞2nsin⁡x2n\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}limn→∞2nsin2nx ( xxx 为不等于零的常数).

2. 计算下列极限：

(1) lim⁡x→0(1−x)1x\lim _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}limx→0(1−x)x1;

(2) lim⁡x→0(1+2x)1x\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}limx→0(1+2x)x1;

(3) lim⁡x→∞(1+xx)2x\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}limx→∞(x1+x)2x;

(4) lim⁡x→∞(1−1x)kx\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}limx→∞(1−x1)kx ( kkk 为正整数).

3. 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I‘

4. 利用极限存在准则证明：

(1) lim⁡n→∞1+1n=1\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}}=1limn→∞1+n1=1;

(2) lim⁡n→∞n(1n2+π+1n2+2π+⋯+1n2+nπ)=1\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)=1limn→∞n(n2+π1+n2+2π1+⋯+n2+nπ1)=1;

(3) 数列 2,2+2,2+2+2,⋯\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \cdots2,2+2,2+2+2,⋯ 的极限存在;

(4) lim⁡x→01+xn=1\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1limx→0n1+x=1;

(5) lim⁡x→0+x[1x]=1\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1limx→0+x[x1]=1.

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