高等数学第七版-习题解答：总复习3

习题解答：总复习3

18*. 已知f′′(x)f''(x)f′′(x)存在，证明
lim⁡x→x0f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)h2=f′′(x0)\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)}{h^2} = f''(x_0) x→x0limh2f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=f′′(x0)
方法一： 利用Taylor公式，将 hhh 视为自变量，在h=0h=0h=0 处展开分子中的两个函数：
f(x0+h)=f(x0)+f′(x0)⋅h+f′′(x0)2⋅h2+o(h2)f(x0−h)=f(x0)−f′(x0)⋅h+f′′(x0)2⋅h2+o(h2)f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot h+\frac{f''(x_0)}{2} \cdot h ^2 +o(h^2)\\ f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)\cdot h+\frac{f''(x_0)}{2} \cdot h ^2 +o(h^2) f(x0+h)=f(x0)+f′(x0)⋅h+2f′′(x0)⋅h2+o(h2)f(x0−h)=f(x0)−f′(x0)⋅h+2f′′(x0)⋅h2+o(h2)
代回分子易知：
f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=f′′(x0)⋅h2+o(h2)f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=f''(x_0) \cdot h ^2 +o(h^2) f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)=f′′(x0)⋅h2+o(h2)
代回极限式即得结论。

方法二：使用一次洛必达法则，再根据导数定义求证。注意，此时应对hhh 求导。
lim⁡x→x0f(x0+h)−f(x0−h)−2f(x0)h2=lim⁡x→x0f′(x0+h)+f′(x0−h)2h=12[lim⁡x→x0f′(x0+h)−f′(x0)h+lim⁡x→x0f′(x0−h)−f′(x0)−h]=12[f′′(x0)+f′′(x0)]=f′′(x0)\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)-2f(x_0)}{h^2} &= \lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0+h)+f'(x_0-h)}{2h}\\ &=\frac{1}{2}\left[\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}+\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0-h)-f'(x_0)}{-h}\right]\\ &= \frac{1}{2}[f''(x_0)+f''(x_0)]=f''(x_0) \end{aligned} x→x0limh2f(x0+h)−f(x0−h)−2f(x0)=x→x0lim2hf′(x0+h)+f′(x0−h)=21[x→x0limhf′(x0+h)−f′(x0)+x→x0lim−hf′(x0−h)−f′(x0)]=21[f′′(x0)+f′′(x0)]=f′′(x0)
说明：上述推导中，第二行的两个极限式分别对应f(x0)f(x_0)f(x0) 的左、右导数。

By Dr. Ma

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