高等数学（上）（第七版 同济大学） 笔记 ：映射
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射
1、定义：两个非空集合X，Y，存在法则 f，使X中每个元素 x 按照法则 f 都有唯一确定的 y 与之对应，那么 f 称为从X到Y的映射，
记作： f : X Y 。
元素 y 称为元素 x（在映射 f 下）的像，记做 f (x) , 所有元素的像组成的集合称为映射 f 的值域，记为 Rf 或 f （X）
元素 x 称作元素 y （在映射 f 下）的原像。
理解：
（1）法则 f 称为一个映射。
（2）要求X中的每个元素在Y中都有对应，所以映射 f 的定义域为 X。
（3）并未说明Y中元素都有原像，所以值域 f (X) Y 。
2、单射：如果Y中的像，在所有情况下只对应一个 x 。即，x1 ！= x2 时， f (x1) != f (x2)时， 这个映射成为单射。
单射时一个 y 对应一个 x，一个 x 也 对应一个 y , 因此从单射可以 得到一个新映射 g : Rf X 。
映射g 叫做映射 f 的逆映射。
3、两个映射
g : X Y1 ， f : Y2
Z , Y1 包含于Y2， 则对于集合X中每个元素在集合Z中都可以找到唯一确定的元素，则可以得到一个新的映射，成为 f 与 g 的复合映射，记做 f 。g 即：
f 。g ： X Z ( f 。g)(x) = f [ g ( x )]
如果 f (x) = , g(x) = sinx , 则两者复合成的映射为 f [g(x)] =
=
。
理解：
（1）由单射可得到逆映射，逆映射的条件是映射为单射，单射这种映射的 x ,y 互相一 一对应。
（2）复合映射条件是其中一个映射的值域包含在另一个映射 f 的定义域内，f 作为复合映射的外围映射。
（3）逆映射和复合映射的概念可以帮助理解逆函数和复合函数。
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