质点系的角动量与角动量定理

质点系的角动量

考察由nnn个质点组成的质点系，设质点系中质点PiP_iPi的质量为mim_{i}mi，相对于惯性坐标系原点OOO点的矢径为ri\boldsymbol{r}_{i}ri，速度为vi=dri/dt\boldsymbol{v}_{i}=\mathrm{d} \boldsymbol{r}_{i} / \mathrm{d} tvi=dri/dt，则质点系对点OOO的角动量为定义为：
LO=∑i=1nri×mivi(1)\boldsymbol{L}_{O}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}{\tag1}LO=i=1∑nri×mivi(1)

注意：角动量是矢量，它与矩心OOO的选择有关。因此在描述角动量时，必须说明对哪一点的角动量。

（图1）

下面讨论质点系对任意两点OOO和AAA动量矩LO\boldsymbol{L}_{O}LO和LA\boldsymbol{L}_{A}LA的关系。如图1所示，质点AAA在参考坐标系OxyzOxyzOxyz中的矢径为rOA\boldsymbol{r}_{O A}rOA，质点PiP_iPi相对于AAA的矢径为ρi\boldsymbol{\rho}_{i}ρi，因此质点PiP_iPi的矢径ri\boldsymbol{r}_{i}ri可以表示为
ri=rOA+ρi(2)\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{r}_{O A}+\boldsymbol{\rho}_{i}{\tag2}ri=rOA+ρi(2)

将上式带入，可得
LO=∑i=1nri×mivi=∑i=1nρi×mivi+rOA×∑i=1nmivi(3)\boldsymbol{L}_{O}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}+\boldsymbol{r}_{O A} \times \sum_{i=1}^{n} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}{\tag3}LO=i=1∑nri×mivi=i=1∑nρi×mivi+rOA×i=1∑nmivi(3)

其中第一项是质点系对A点的动量矩LA\boldsymbol{L}_{A}LA，因此上式可写为
LO=LA+rOA×p(4)\boldsymbol{L}_{O}=\boldsymbol{L}_{A}+\boldsymbol{r}_{O A} \times \boldsymbol{p}{\tag4}LO=LA+rOA×p(4)

如果将点A取为质心C，则由上式得
LO=LC+rOC×p=LC+rOC×mvC(5)\boldsymbol{L}_{O}=\boldsymbol{L}_{C}+\boldsymbol{r}_{O C} \times \boldsymbol{p}=\boldsymbol{L}_{C}+\boldsymbol{r}_{O C} \times m \boldsymbol{v}_{C}{\tag5}LO=LC+rOC×p=LC+rOC×mvC(5)

（图2）

式(5)利用各质点的绝对速度vi\boldsymbol{v}_{i}vi来计算质点系对质心的动量矩LC\boldsymbol{L}_{C}LC的。下面证明，质点系对于质心的动量矩也可以用相对质心平动参考系的速度计算。首先，引入质心平动坐标系Cx′y′z′C x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}Cx′y′z′，如图2所示。设质心CCC的速度为vC\boldsymbol{v}_{C}vC，质点PiP_iPi的绝对速度为vi\boldsymbol{v}_{i}vi，相对于质心平动系Cx′y′z′C x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}Cx′y′z′的速度vir=vi−vC\boldsymbol{v}_{i \mathbf{r}}=\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{C}}vir=vi−vC。于是，质点系对质心的动量矩LC\boldsymbol{L}_{C}LC为
LC=∑i=1nρi×mivi=∑i=1nρi×mivC+∑i=1nρi×mivir(6)\boldsymbol{L}_{C}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{C}+\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i \mathbf{r}}{\tag6}LC=i=1∑nρi×mivi=i=1∑nρi×mivC+i=1∑nρi×mivir(6)

由质心的定义有
∑i=1nmiρi=mρC(7)\sum_{i=1}^{n} m_{i} \boldsymbol{\rho}_{i}=m \boldsymbol{\rho}_{C} {\tag7}i=1∑nmiρi=mρC(7)

其中mmm为质点系的总质量，ρC\boldsymbol{\rho}_{C}ρC为质心CCC在质心平动参考系Cx′y′z′C x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}Cx′y′z′中的矢径，显然ρC=0\boldsymbol{\rho}_{C}=0ρC=0。故有LC=LCr=∑i=1nρi×mivir(8)\boldsymbol{L}_{C}=\boldsymbol{L}_{C_{\mathrm{r}}}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i \mathbf{r}}{\tag8}LC=LCr=i=1∑nρi×mivir(8)

质点系的动量矩定理

令OOO为固定点，OxyzOxyzOxyz为惯性系，AAA为惯性系中的任意点，其绝对速度为vA\boldsymbol{v}_AvA。将质点系对AAA的动量矩LA=∑i=1nρi×mivi\boldsymbol{L}_{\boldsymbol{A}}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{i}} \times \boldsymbol{m}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}LA=∑i=1nρi×mivi对时间求一阶导数，得
dLAdt=∑i=1ndρidt×mivi+∑i=1nρi×miai(9)\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}_{\boldsymbol{A}}}{\mathrm{d} t}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{i}}}{\mathrm{d} t} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}+\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{a}_{i}{\tag9}dtdLA=i=1∑ndtdρi×mivi+i=1∑nρi×miai(9)

由牛顿第二定理得
miai=Fi(i)+Fi(e)(10)m_{i} \boldsymbol{a}_{i}=\boldsymbol{F}_{i}^{(\mathrm{i})}+\boldsymbol{F}_{i}^{(\mathrm{e})}{\tag{10}}miai=Fi(i)+Fi(e)(10)

质点系中内力总是成对出现的。且大小相等，方向相反，因此内力系对任意点的主矩为零，即MA(i)=∑i=1nρi×Fi(i)=0\boldsymbol{M}_{A}^{(\mathrm{i})}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}^{(\mathrm{i})}=0MA(i)=∑i=1nρi×Fi(i)=0。于是式(9)右端的第二项正是作用在质点系上外力对AAA点的主炬
MA(e)=∑i=1nρi×Fi(e)(11)\boldsymbol{M}_{A}^{(\mathrm{e})}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\rho}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}^{(\mathrm{e})}{\tag{11}}MA(e)=i=1∑nρi×Fi(e)(11)

将式(11)两边对时间求一阶导数得dρidt=vi−vA(12)\frac{\mathrm{d} \rho_{i}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{A}}{\tag{12}}dtdρi=vi−vA(12)

带入式，考虑到vi×vi=0\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}} \times \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}=0vi×vi=0，可得dLAdt=MA(e)+mvC×vA(13)\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}_{A}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{M}_{A}^{(\mathrm{e})}+m \boldsymbol{v}_{C} \times \boldsymbol{v}_{A}{\tag{13}}dtdLA=MA(e)+mvC×vA(13)

可见，质点系动量矩的变化仅取决于外力的主矩（这个仅字针对内力而言）。根据公式，变化还取决于表征质点系运动的交叉项。
下面介绍两种特殊情况：

如果点AAA为固定点，即vA=0\boldsymbol{v}_{A}=\mathbf{0}vA=0，则由式(13)得：
dLAdt=MA(e)(14)\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}_{A}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{A}}^{(\mathrm{e})} {\tag{14}}dtdLA=MA(e)(14)

这就是质点系对固定点的动量矩定理。以A为原点建立直角坐标系AxyzAxyzAxyz,则有
dLxdt=Mx(e)dLydt=My(e)dLzdt=Mz(e)(15)\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d} L_{x}}{\mathrm{d} t}=M_{x}^{(\mathrm{e})}\\ &\frac{\mathrm{d} L_{y}}{\mathrm{d} t}=M_{y}^{(\mathrm{e})}\\ &\frac{\mathrm{d} L_{z}}{\mathrm{d} t}=M_{z}^{(\mathrm{e})} \end{aligned}{\tag{15}}dtdLx=Mx(e)dtdLy=My(e)dtdLz=Mz(e)(15)

其中Mx(e)M_{x}^{(\mathrm{e})}Mx(e),My(e)M_{y}^{(\mathrm{e})}My(e),Mz(e)M_{z}^{(\mathrm{e})}Mz(e)分别为外力对xxx轴,yyy轴,zzz轴之矩。LxL_{x}Lx,LyL_{y}Ly,LzL_{z}Lz 分别为质点系对xxx轴、yyy轴和zzz轴的动量矩。
如果外力对A点的主矩为零，则由式(14) 可知，质点系动矩守恒。如果作用于质点系上的外力对某定轴的矩为零，则质点系对该轴的动量矩守恒。

如果点A为质点系的质心C,则由式(13) 可得
dLCdt=MC(o)(16)\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}_{C}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{M}_{C}^{(\mathrm{o})}{\tag{16}}dtdLC=MC(o)(16)

将式(8)带入上式，可得
dLCrdt=MC(e)(17)\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}_{C \mathrm{r}}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{M}_{C}^{(\mathrm{e})}{\tag{17}}dtdLCr=MC(e)(17)

这两个式子是质点系对质心的动量矩定理。可以看出，它们与质点系对固定点的动量矩定理形式完全一致。当外力对质心的主矩为零时，质点系对质心的动量矩守恒。

注释：

本文动量矩的定义是绝对线动量对于矩心的矩之和，即定义式中叉乘的是质量微元的绝对速度，参考文献[1],[3]都采用这种定义方法。参考文献[2]采用相对动量矩的定义方法，即叉乘的是相对于矩心的速度。[3]对于绝对和相对角动量有清晰的描述。当然，当矩心为质心时，二者相等，且满足欧拉公式。
动量矩定理的公式(13)是一般情况，对参考点无任何限制，等式右边有质心和矩心速度叉乘这一项目。公式(14)和(16)被称为欧拉公式，分别对应着矩心为固定点以及为矩心为质心两种特殊情况。只有这两种情况下，才没有叉乘项。只有在上述两种情况下，合外力对质心主矩为零时，角动量才守恒。(否则根据公式(13)，由于等式右端还有叉乘项，角速度的导数不为零)

参考文献：

Orbital mechanics for engineering students
Analytical mechanics of space system
理论力学李俊峰张雄