质点运动学

1. 动量

1.1 动量与冲量 动量定理

动量： 质点的质量与速度的乘积。

由牛顿第二定理可知，F=dpdtF=\frac{dp}{dt}F=dtdp​，两边同时乘以dt，可得
dI = Fdt = dp

冲量: 力F在这段时间内的积累效果。

上式的意义在于：物体动量在dt时间内的积累量，等于作用在物体上的外力在这段时间的冲量。 这就叫做质点的动量定理 。

• 如果外力在t0t_0t0​到ttt的 这段时间内持续作用，那么我们对上式两边同时积分，就可得到
  I=∫t0tFdt=p−p0I=\int_{t_0}^t{Fdt}=p-p_0I=∫t0​t​Fdt=p−p0​
• 注意，力对时间的积分是矢量的积分，因此冲量I 也是矢量，但它的方向一般与力F不同。

对于动量定理，我们强调：

1. 动量定理是个矢量方程，可以向任意方向分解，仍然成立。
2. 动量定理反映的是力对时间的累计效果，与过程细节无关。
3. 如果时间特别短，并且F大小有限，在这种情况下，I趋于零，我们认为动量p 不发生改变。
4. 如果时间很短，但动量仍然发生了明显的变化，外力F必然非常大，这种力我们称为冲击力。

1.2 质点系的动量定理

质点系的总动量为系内各个质点动量之和：p=∑ipip=\sum_i p_ip=∑i​pi​

根据内力成对出现和牛顿第三定理我们可知：
dpdt=F\frac{dp}{dt}=Fdtdp​=F
这里的F为作用在质点系不同质点上的外力之和。该式表明，质点系的总动量随时间的变化率，等于作用到质点系各质点的外力之和，这个结论称为质点系的动量定理。
对于质点系的动量定理，我们强调：

1. 质点系的动量的变化率，只取决与外力的矢量和，与作用点等细节无关。
2. 质点系的内力可以改变系内一些质点的动量，但对系统总动量没有影响。

1.3 动量守恒定理

根据质点动量定理，我们可以知道，在某一过程中，质点所受合力冲量为零，则在该过程中质点的动量守恒，即 p=C(常矢量)。 这一结论称为质点的 动量守恒定理。
把这一定理推广到质点系，在一过程中，如果质点系的合外力为零，（实际上只要合外力的冲量为零就可以啦），那么质点系的动量也是一个常矢量。在一过程中，若质点系所受合力为零，质点系的总动量不变。 这一结论称为质点系的动量守恒定理。

对于动量守恒定理，我们强调：

1. 动量守恒定理是个矢量规律，若质点（质点系）在某一方向上合外力为零，那么在该方向上动量守恒。
2. 该定理只是表明系统总动量不变，但是在内部动量可以转移。
3. 完全不受外力的情况比较少见，但是如果系统受到的外力与内力比较来说微弱，或者在这一过程中，时间极短，导致外力冲量极小，这时也可以近似看做系统动量守恒。

动量定理、动量守恒定理与牛顿定理一样，只适用于惯性系。在非惯性系中，只有添加了惯性力后，它们才成立。

2. 变质量问题的运动方程

2.1 火箭推力和速度

推导过程比较常规，主要思路为先通过火箭喷出气体动量的变化量来计算气体受到火箭的作用力，就可以通过牛顿第三定理计算出火箭受到的气体的推动力。对于火箭的速度来说，通过火箭与气体的系统动量守恒来列出火箭速度的表达式然后两边积分。

火箭推力：F=udmdtF=u \frac{dm}{dt}F=udtdm​
其中u为气体相对于火箭的速度，dmdt\frac{dm}{dt}dtdm​为燃料气体质量的变化率。
火箭获得的速度： v=uln⁡M0Mv = u\ln\frac{M_0}{M}v=ulnMM0​​
其中u为气体相对于火箭的速度，M0M_0M0​是火箭的初始质量，MMM是速度为vvv时火箭体的剩余质量。
在现实生活中，为了获得更大的速度，一般通过多级火箭来实现。

2.2 变质量问题

对于变质量问题，我们运用质点系的动量定理可以推出 d(Mv)dt=F+v′dmdt\frac{d(Mv)}{dt}=F+v'\frac{dm}{dt}dtd(Mv)​=F+v′dtdm​
其中，在t时刻，主体质量为M，在实验系中速度为v，dm为即将进入主体的添加物（如果是喷射出去的，那么dm<0），dm相对于实验系的速度为v’。
由于d(Mv)=Mdv+vdM，dM=dm，故上式也可以写为Mdvdt=F+(v′−v)dmdtM\frac{dv}{dt}=F+(v'-v)\frac{dm}{dt}Mdtdv​=F+(v′−v)dtdm​，设u为dm相对于M的速度，可得Mdvdt=F+udmdtM\frac{dv}{dt}=F+u\frac{dm}{dt}Mdtdv​=F+udtdm​。

3.角动量

角动量也称为动量矩，这一部分内容非常重要！

3.1 质点的角动量、角动量定理和角动量守恒定理

质点的角动量定义如下：在惯性参考系中选一固定的参考点O，设运动质点对O点的位矢为r，动量为p，定义质点相对与参考点O的角动量为
L=r×p=r×mvL=r\times p=r\times mvL=r×p=r×mv
L的方向垂直于r与p决定的平面，指向可用右手螺旋法则确定，从r经过小于180度的方向转向p，大拇指的方向就是L的方向。单位为kg⋅m2/skg\cdot m^2/skg⋅m2/s。

若质点还受到力F的作用，r是质点对于固定参考点O的位置矢量。

定义力F对参考点O的力矩为：M=r×FM=r\times FM=r×F

联立上式，我们可以得到dLdt=r×F=M\frac{dL}{dt}=r\times F=MdtdL​=r×F=M

该式表明：质点相对某参考点的角动量对时间的变化率，等于质点所受合外力对同一参考点的力矩。

这一结论就是质点的角动量定理。

把上式对时间t积分，就有∫t0tMdt=L−l0\int_{t_0}^tMdt=L-l_0∫t0​t​Mdt=L−l0​，其中∫t0tMdt\int_{t_0}^tMdt∫t0​t​Mdt称为力矩M在这段时间的角冲量。这是角动量定理的积分形式，表示质点角动量在一段时间的增加量，等于作用于该质点的力矩在这段时间内的角冲量。

当M=0时，有L=常矢量。表明：

如果对于一固定的参考点，质点所受到的合力矩为零，则质点相对于该点的角动量不变。这一结论叫做质点角动量守恒。

在中心力场中，质点所受的力矩总为零，因此对于力心的角动量守恒。

3.2 质点系的角动量、角动量定理和角动量守恒定理

质点系相对给定参考点的角动量，为各个质点对该参考点的角动量的矢量和。

使用完全与动量定理类似的证法，我们可以知道：

质点系相对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率，等于作用在质点系上所有外力对同一参考点的合外力距。这一结论称为质点系的角动量定理。

如果质点系所受到的合外力距M=0，则有L=常矢量。

当质点系相对于某一参考点所受到的合外力距为零时，质点系相对于该参考点的总角动量保持不变。这就是质点系的角动量守恒定律。

对于质点系的角动量定理和角动量守恒定律，需要强调的是：

1. 同一问题分析时要选取同一参考点。
2. 如果对于一个参考点合外力距为零，对于其他参考点可就不一定了。
3. 合外力为零与合外力距为零彼此独立。当合外力为零时，合外力距与参考点无关。
4. 可以只对某一方向进行分析。

4. 质心和质心参考系

4.1 质心

质心可以看作质点系整体运动的代表点，它的位置由质点系各质点质量及其分布决定。
Rc=∑imiRiMR_c=\frac{\sum_im_iR_i}{M}Rc​=M∑i​mi​Ri​​，其中M是质点系的总质量。
对于质量连续分布的物体，用积分表示即可。

对于处在均匀重力场的物体，质心与重心重合。重心为一个物体各部分所受重力的合力的作用点。

4.2 质心运动定理

质点系的总动量可以用它的总质量与质心运动速度的乘积表示。

即p=Mvcp=Mv_cp=Mvc​，对上式两边同时求导，可得
dPdt=Mdvcdt=Mac=F\frac{dP}{dt}=M\frac{dv_c}{dt}=Ma_c=FdtdP​=Mdtdvc​​=Mac​=F
其中，aca_cac​为质心运动的加速度，FFF为质点系所受到的合外力。

这一公式称为质心运动定理，它表明质点系质心的运动就如同一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，受到的力为质点系受到的所有外力的矢量和。

4.3 质心参考系

以质心为坐标原点的参考系，称为质心参考系，简称质心系。

相对于质心系来说，vc=0，P=Mvc=0v_c=0，P=Mv_c=0vc​=0，P=Mvc​=0，也就是说，相对于质心参考系，质点系的总动量恒为零，因此，质心参考系又叫做零动量参考系。无论质点系是否受到外界作用，任何质点系对于它的质心来说动量守恒。
质心系可能是惯性系，也可能是非惯性系，视质点系所受合外力是否为零而定，当合外力为零时，质心加速度为零，则质心是惯性系，否则不是。

4.4 质心系的角动量定理

质点系对某一参考点O的总角动量，等于质点系相对于质心的角动量（固有角动量）加上质心对O点的角动量（轨道角动量），L=Lc+mrc×vcL=L_c+mr_c\times v_cL=Lc​+mrc​×vc​，还可以证明质心系中的角动量定理与质心的运动没有关系，Mc=dLcdtM_c=\frac{dL_c}{dt}Mc​=dtdLc​​。

4.5 两体问题

有结论m1与m2相对于它们质心的角动量为Lc=μr12×uL_c=\mu r_{12}\times uLc​=μr12​×u，其中μ=m1m2m1+m2\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}μ=m1​+m2​m1​m2​​，r12r_{12}r12​为两者在实验系参考系中的位矢差。

5.动能、势能和机械能

5.1 功

功等于质点受的力和它的位移的标量积（点积）。

如果质点沿曲线L从A点运动到B点，则力F对质点做的功W可以用沿着L的曲线积分来计算。
WAB=∫A(L)BF⋅drW_{AB}=\int_{A(L)}^BF\cdot drWAB​=∫A(L)B​F⋅dr
国际单位制中，功的单位为焦耳（J），其他单位有尔格（erg），电子伏（eV），其中
1erg=10−7J,1eV=1.6×10−19J1erg=10^{-7}J,1eV=1.6\times 10^{-19}J1erg=10−7J,1eV=1.6×10−19J
对于功的概念，我们强调以下几点：

1. 标量
2. 大小与起末位置有关，也依赖于具体的运动路径。
3. 合力对质点做的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
4. 力在单位时间内做的功称为功率，P=F⋅vP=F\cdot vP=F⋅v，因此功也可以用功率来表示，即
   W=∫t0tPdt=∫t0tF⋅vdtW=\int_{t_0}^tPdt=\int{t_0}^tF\cdot vdtW=∫t0​t​Pdt=∫t0​tF⋅vdt

5.2 动能 动能定理

动能：Ek=12mv2E_k=\frac{1}{2}mv^2Ek​=21​mv2

根据牛顿第二定律和功的积分表达式，我们可以得到：

WAB=EkB−EkA=ΔEkW_{AB}=E_{kB}-E_{kA}=\Delta E_kWAB​=EkB​−EkA​=ΔEk​，表明合力对质点做的功，等于质点动能的增加量，这一结论称为质点的动能定理。

5.3 保守力 势能

保守力：当质点绕任一闭合路径运动时，若作用在质点上的力所做的功为零，即∮LF⋅dr=0\oint_LF\cdot dr=0∮L​F⋅dr=0。若力所做的功仅与始末位置有关，与具体运动无关，则该力为保守力。

引入势能函数，保守力做的功等于势能的减少量，即
∫ABF⋅dr=EpA−EpB=−ΔEp\int_A^BF\cdot dr=E_{pA} - E_{pB}=-\Delta E_p∫AB​F⋅dr=EpA​−EpB​=−ΔEp​

5.4 势能曲线 由势能函数求保守力

保守力等于势能函数的负梯度。

5.5 质点的机械能及机械能守恒

定义物体的动能与势能之和为指点的机械能，非保守力做的功等于机械能的增加量。这一结论叫做功能原理。如果在一个过程中，没有非保守力做功，则该过程中质点的机械能守恒，这一结论叫做机械能守恒定律。

6. 质点系的动能、势能和机械能

6.1 质点系的动能定理

质点系的总动能：各个质点的动能之和。

质点系总动能的增加量，等于质点系所受外力与内力所做元功之和，这就是质点系的动能定理。
有时采用质心参考系计算会带来方便，将各质点的运动分解为随质心的运动和相对于质心的运动，可得Ek=12Mvc2+∑i12miviC2E_k=\frac{1}{2}Mv_c^2+\sum_i\frac{1}{2}m_iv_{iC}^2Ek​=21​Mvc2​+∑i​21​mi​viC2​。
上式表明：质点系的总动能，等于各质点系随质心整体运动的动能EcE_cEc​与各质点相对于质心运动的动能EkC之和。E_k^C之和。EkC​之和。这一结论称为柯尼希定理。

6.2 内力的功

相互作用的一对内力的元功之和等于其中一质点所受内力与它相对另一质点的位移的点积。

WAB=∫ABdW=∫ABfij⋅drijW_{AB}=\int_A^BdW=\int_A^Bf_{ij}\cdot dr_{ij}WAB​=∫AB​dW=∫AB​fij​⋅drij​

6.3 保守内力 相互作用势能

两质点在一对保守内力作用下，处在一定相对位置时具有一定的势能，这势能称为两质点的相互作用势能。
我们定义一对保守内力做功之和等于两质点相互作用是势能的减少，即
Uij=−dEpijU_{ij}=-dE_{pij}Uij​=−dEpij​

6.4 质点系功能原理和质点系机械能守恒定理

质点系在运动过程中，外力与非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。这一结果称为质点系的机械能定理或质点是惯性系，也可能是非惯性系，视质点系所受合外力是否为零而定，当合外力为零时，质心系的功能原理。
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变，这一结论称为质点系机械能守恒定理。
需要注意：

1. 质点系功能原理不同于动能原理的是其中的保守力的功用势能的改变代替了，因此在应用功能原理时，必须将保守力的功剔除。
2. 在引入重力势能时，实际考虑的物体系统包括地球，这时要考虑过程中地球动能的变化，由于这一变化通常很小，可以忽略。
3. 系统机械能守恒的条件是外力与系统非保守内力做功为零，这是对于一个参考系来说的，对于另一个参考系，不能保证系统机械能仍然守恒，因为非保守内力做的功虽然与选取的参考系无关，但是外力做的功是否为零则取决于参考系的选择。

7. 两体碰撞

碰撞前后动量守恒。

7.1 对心碰撞 恢复系数

对心碰撞：如果两个球体碰撞前后的速度矢量均沿着两球的连心线，这种碰撞就称为球的对心碰撞或正碰。

u0=v10−v20,u=v1−v2u_0=v_{10}-v{20},u=v_1-v_2u0​=v10​−v20,u=v1​−v2​

恢复系数：e=∣uu0∣=∣v1−v2v10−v20∣e=|\frac{u}{u_0}|=|\frac{v_1-v_2}{v_{10}-v_{20}}|e=∣u0​u​∣=∣v10​−v20​v1​−v2​​∣

7.2 完全弹性碰撞

e = 1

v1=(m1−m2)v10+2m2v20m1+m2,v2=(m2−m1)v20+2m1v10m1+m2v_1=\frac{(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2},v_2=\frac{(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2}v1​=m1​+m2​(m1​−m2​)v10​+2m2​v20​​,v2​=m1​+m2​(m2​−m1​)v20​+2m1​v10​​

7.3 完全非弹性碰撞

e = 0, u=0
v1=v2=vC=m1v10+m2v20m1+m2v_1=v_2=v_C=\frac{m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}v1​=v2​=vC​=m1​+m2​m1​v10​+m2​v20​​

7.4 非完全弹性碰撞

0<e<1

7.5 质心系中正碰撞

在质心参考系中，每个质点碰后的速度是碰前速度的e倍。
在质心参考系中，
ΔEk′=(1−e2)12μu02\Delta E'_k=(1-e^2)\frac{1}{2}\mu u_0^2ΔEk′​=(1−e2)21​μu02​

参考文献：【M】大学物理学 李承祖 ISBN 978-7-03-060441-5

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