请大家不要编辑这个页面，unless I ask you to do so

1 经典力学（牛顿力学）的重要概念

经典力学是充分利用了欧式几何的公理化方法来构建我们的知识体系。了解什么是公理化方法。知识的公理化可以帮助我们记住和理解繁多的知识。

思考：这些概念中，哪些是最基本的，也就是不能用其他概念来定义的？哪些又是用基本概念和法则定义出的扩展的概念？

1.1 参考系，空间，时间，欧式几何，牛顿时空观

世界参考系

虽然即使是牛顿时空观中，参考系也没有绝对的，只有惯性和非惯性的区别，但是在我们开始观察宇宙时，我们总要从某一个参考系开始的。我们一般都选择一个惯性参考系开始我们对宇宙的观察，不妨称这个参考系为“世界参考系”。世界参考系在机器人力学，游戏空间中都是常见的。

欧氏几何对经典力学的重要性：一是提供了欧式几何（平直空间几何学），二是牛顿借鉴了欧式几何的公理化思想。

1.2 坐标系：笛卡尔坐标，柱坐标系，球坐标系

1.3 位置矢量，位移矢量，速度矢量，加速度矢量

1.4 力矢量，力矩矢量，4个基本相互作用，能量

1.5 惯性系是F=ma成立的参考系

1.6 绝对和相对时间导数

上面两幅图中，假设驾驶员与自己的火车/飞机相对静止，头部和眼睛完全固定，问：
测试1：左图火车例子：A观察到的B的速度矢量 = 负的（B观察到的A的速度矢量），这个结论对还是错？

测试2：右图飞机例子：A观察到的B的速度矢量 = 负的（B观察到的A的速度矢量），这个结论对还是错？

转动参考系，平动参考系

经典力学中，每个参考系都是固结于一个已知的刚体。定义一个参考系需要一个刚体，因为需要三维的刚体才能作为参考来定义方向，即：上下，左右，前后。一个点是不足以定义一个参考系的，“相对某个点的速度”这句话是不严谨的，下文中我们会说“相对质心的速度”，这个说法是不严谨的。那这句话到底该怎么理解？这里我们给出答案。

相对世界参考系，如果一个参考系所固结的刚体有转动，则称该参考系是转动参考系。

首先，此处，我们给世界参考系，另一个任意参考系，配上笛卡尔坐标系，参考系和笛卡尔坐标系的合体，英文就简单的称为Frame，中文就称为参考标架
{e⃗i,t},i=1,2,3\left\{ {{{\vec e}_i},t} \right\},i = 1,2,3{ei,t},i=1,2,3
{ξ⃗i,t~},i=1,2,3\left\{ {{{\vec \xi }_i},\tilde t} \right\},i = 1,2,3{ξi,t~},i=1,2,3
记住：数值上，t=t~t = \tilde tt=t~，但他们在求导时代表不同的观察者或参考系。

在世界参考系中观察到的时间变化率，暂时称为绝对时间导数，记为：ddt(physical−quantity){d \over {dt}}\left( {{\rm{physical-quantity}}} \right)dtd(physical−quantity)

在其他参考系中观察到的时间变化率，暂时称为相对时间导数，记为：ddt~(physicalquantity){d \over {d\tilde t}}\left( {{\rm{physical quantity}}} \right)dt~d(physicalquantity)

对所有的标量，我们有：ddt(scalar)=ddt~(scalar){d \over {dt}}\left( {{\rm{scalar}}} \right) = {d \over {d\tilde t}}\left( {{\rm{scalar}}} \right)dtd(scalar)=dt~d(scalar)

讲下面的式子之前，需要一个动坐标架
对所有的矢量，我们有：
ddt(vector)=ddt~(vector)+ω⃗×(vector){d \over {dt}}\left( {{\rm{vector}}} \right) = {d \over {d\tilde t}}\left( {{\rm{vector}}} \right) + \vec \omega \times \left( {{\rm{vector}}} \right)dtd(vector)=dt~d(vector)+ω×(vector)
怎么证明？

dξ⃗idt~≡0⃗{{d{{\vec \xi }_i}} \over {d\tilde t}} \equiv \vec 0dt~dξi≡0，
dξ⃗idt=ω⃗×ξ⃗i{{d{{\vec \xi }_i}} \over {dt}} = \vec \omega \times {{\vec \xi }_i}dtdξi=ω×ξi

一个特殊的结论，刚体的角速度矢量在两个参考系中观察到的变化率是一样的：
dω⃗dt=dω⃗dt~+ω⃗×ω⃗=dω⃗dt~{{d\vec \omega } \over {dt}} = {{d\vec \omega } \over {d\tilde t}} + \vec \omega \times \vec \omega = {{d\vec \omega } \over {d\tilde t}}dtdω=dt~dω+ω×ω=dt~dω

对于二阶张量，又是什么公式？

推导转动参考系有关的相对速度和相对加速度公式

2 单个质点的力学

思考：本章中，下面的推导中，哪些是基本物理定理，哪些又是从基本原理推导出来的定理？这样，你可以知道经典力学公理化体系中的最小集合的“axioms公理”

注：参考系用radar图形来表示，和坐标系区分开来。位置矢量记号中，用下标"A/B"表示“A点相对于B点”或者“从B点到A点的单向箭头”，如果相对于世界参考系的原点，这改原点可以省略，如：r⃗A\vec{r}_{A}rA

2.1 单个质点牛顿方程

dP⃗dt=d(mv⃗)dt=mv⃗dt=ma⃗=F⃗\frac{d\vec{P}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=m\frac{\vec{v}}{dt}=m\vec{a}=\vec{F}dtdP=dtd(mv)=mdtv=ma=F

2.2 冲量动量定理，动量守恒原理

2.3 功能原理，机械能守恒

2.4 单个质点欧拉方程，Euler’s equation for one particle：

dH⃗i/Adt=M⃗i/A−dr⃗Adt×P⃗\boxed{\frac{d\vec{H}_{i/A}}{dt}=\vec{M}_{i/A}-\frac{d\vec{r}_{A}}{dt}\times\vec{P}} \qquaddtdHi/A=Mi/A−dtdrA×P
思考：推导欧拉方程的过程中，哪些是我定义的概念，哪些成立的必要条件？也就是说，

3 质点系的动力学方程

3.* 牛顿方程，质心概念

思考：质心这个概念是怎么在推导质点系的牛顿方程时被定义出来了，是为了解释质点系的动力学而抽象出的一个概念
v⃗c=?{{\vec v}_c} = ?vc=?

质点系的角动量

H⃗S/A=def∑iH⃗i/A=∑i(r⃗i/A×miv⃗i){{\vec H}_{S/A}}\mathop = \limits^{def} \sum\limits_i {{{\vec H}_{i/A}}} = \sum\limits_i {\left( {{{\vec r}_{i/A}} \times {m_i}{{\vec v}_i}} \right)}HS/A=defi∑Hi/A=i∑(ri/A×mivi)

推导下式：
H⃗S/A=r⃗C/A×mv⃗C+H⃗S/C{{\vec H}_{S/A}} = {{\vec r}_{C/A}} \times m{{\vec v}_C} + {{\vec H}_{S/C}}HS/A=rC/A×mvC+HS/C

关于质心的角动量有两个定义，证明这两个定义是等价的：
H⃗S/C=∑i(r⃗i/C×miv⃗i/C){{\vec H}_{S/C}} = \sum\limits_i {\left( {{{\vec r}_{i/C}} \times {m_i}{{\vec v}_{i/C}}} \right)}HS/C=i∑(ri/C×mivi/C)
H⃗S/C=∑i(r⃗i/C×miv⃗i){{\vec H}_{S/C}} = \sum\limits_i {\left( {{{\vec r}_{i/C}} \times {m_i}{{\vec v}_i}} \right)}HS/C=i∑(ri/C×mivi)

3.* 欧拉方程

Euler’s equation for a system of particles (Form 1), about a arbitrary point A:
M⃗S/Aext=def∑iM⃗i/Aext\vec M_{S/A}^{ext}\mathop = \limits^{def} \sum\limits_i {\vec M_{i/A}^{ext}}MS/Aext=defi∑Mi/Aext
M⃗S/Aext=ddtH⃗S/A+v⃗A×mv⃗c\vec M_{S/A}^{ext} = {d \over {dt}}{{\vec H}_{S/A}} + {{\vec v}_A} \times m{{\vec v}_c}MS/Aext=dtdHS/A+vA×mvc
v⃗A=dr⃗Adt{{\vec v}_A} = {{d{{\vec r}_A}} \over {dt}}vA=dtdrA

把上面的公式中的A点选择为质心，则方程变成：
∑iM⃗i/Cext=ddt∑iH⃗i/C\sum\limits_i {\vec M_{i/C}^{ext}} = {d \over {dt}}\sum\limits_i {{{\vec H}_{i/C}}}i∑Mi/Cext=dtdi∑Hi/C

质点系的欧拉方程还可以写成“动静法”的形式，或者是：合力矩=合惯性力矩，也如下图所示
Euler’s equation for a system of particles (Form 2), about a arbitrary point A:
M⃗S/Aext=ddtH⃗S/C+r⃗C/A×ma⃗c\vec M_{S/A}^{ext} = {d \over {dt}}{{\vec H}_{S/C}} + {{\vec r}_{C/A}} \times m{{\vec a}_c}MS/Aext=dtdHS/C+rC/A×mac

质点系的牛顿-欧拉动力学方程相关推荐

【机器人学】牛顿-欧拉动力学方程迭代形式
1 牛顿方程和欧拉方程作者推导了牛顿欧拉动力学方程的迭代形式和矩阵,本文重点描述动力学方程的迭代形式,动力学方程的矩阵形式见博文. 假定机械臂的连杆均为刚体,若连杆质心的位置和惯性张量已知,那么它的 ...
机械臂的牛顿-欧拉动力学方程
机械臂的牛顿-欧拉动力学方程一般把机械臂的连杆看作刚体,如果知道了连杆质心的位置和惯性张量,那么它的质量分布特征就完全确定了.要使连杆运动,必须对连杆进行加速和减速.连杆运动所需的力是关于连杆期望加 ...
机器人学之动力学笔记【9】—— 牛顿-欧拉递推动力学方程
机器人学之动力学笔记[9]-- 牛顿-欧拉递推动力学方程 1. 定义线加速度 2. 定义角加速度 3. 推导线加速度 4. 推导角加速度 5. 质量分布(Mass Distribution) 6. ...
刚体质量分布与牛顿-欧拉方程
惯性矩.惯性积.转动惯量.惯性张量惯性矩是一个几何量,通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质.惯性矩的国际单位为(m4).即面积二次矩,也称面积惯性矩,而这个概念与质量惯性矩(即转动惯量)是不同概念. 面 ...
机械臂动力学建模（3）- Newton Euler牛顿欧拉算法
Newton Euler算法参考思路(参考丁教授第二讲ppt) 矢量在不同坐标系下的转换关系速度的递推重心处的力和力矩力的递推完整公式代码参考北航丁希仑教授的机器人动力学课件: 检出 ...
牛顿-欧拉迭代动力学算法
牛顿-欧拉迭代动力学算法 (1)连杆之间角/线加速度变换方程(向外迭代法): (1)iω˙i→移动关节:式(6−33)式(6−32)i+1ω˙i+1{^i\dot{\omega}_i}\xrighta ...
递归牛顿欧拉（正/逆）动力学仿真
递归牛顿-欧拉方法(Recursive Newton-Euler Method)是一种高效的动力学计算方法,尤其适用于串联多刚体系统,例如串联机械臂.递归牛顿-欧拉方法有正和逆两种形式,本文我们先来看 ...
5. 机器人动力学---串联机构牛顿欧拉方程
1. 引言这篇文章主要介绍了串联机构牛顿欧拉方程的基本原理,文章提到了惯性系平权性,速度叠加原理等对于理解机器人动力学十分关键的问题.具体内容请参考古月居
双盘转子动力学仿真c语言程序,递归牛顿欧拉（正）动力学仿真
递归牛顿-欧拉动力学算法是一种高效的动力学计算方法,它有正和逆两种形式,我们先来看正动力学,也就是给定关节力矩求机器人的运动.下面的算法来自于论文<Lie Group Formulation o ...

质点系的牛顿-欧拉动力学方程