勒让德方程(多项式)和缔合勒让德方程(多项式)和球谐函数

实战：求解球坐标系下拉普拉斯方程

勒让德方程(多项式)

尝试把y（x）看作幂级数的形态，来求解这个方程：

这一大串相加等于零，

缔合勒让德方程(多项式)

已知勒让德方程的解是勒让德多项式 y= $P_l$ ，

求更为一般缔合勒让德方程的解。

我们先把勒让德多项式代入勒让德方程，这是一个恒等式。

我们对两边取|m|次导数。

得到了一个关于 $P_l$ 的m次导数的方程。

我猜一下缔合勒让德解的形式啊

m = 0 时候其解为 $P_l$

为了利用 $P_l$ 的m次导数方程，我们猜解里面含 $P_l$ 的m次导数，

由于缔合方程多乘了一个这个

为了消掉1/( $1-x^2$ ) ,所以解里面含( $1-x^2$ )

我们假设解的形式如下：

尝试代入缔合勒让德方程，

刚好使得方程恒等于0 ,所以我们猜到了缔合勒让德方程的解，

我们这个解为缔合勒让德函数

其中

正交性

递推公式

球谐函数表达形式

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