【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )
文章目录
- 一、常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式
- 二、递推方程通解的四种情况
一、常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式
如果 “常系数线性非齐次递推方程” 的非齐次部分 , 是 nnn 的 ttt 次多项式 , 与 βn\beta^nβn 的指数 , 的组合 ;
那么其特解的形式 , 是 nnn 的 ttt 次多项式 , 与 PβnP\beta^nPβn 的 和 ;
递推方程 : an−2an−1=n+3na_n - 2a_{n-1} = n + 3^nan−2an−1=n+3n
初值 : a0=0a_0 = 0a0=0
通解形式 ( 重要 ) :
① 非齐次部分是 nnn 的 ttt 次多项式 :
- 特征根不为 111 , 特解是 nnn 的 ttt 次多项式 ;
- 如果特征根为 111 , 且重数为 eee , 那么特解是 nnn 的 t+et + et+e 次多项式 ;
② 非齐次部分是 PβnP\beta^nPβn :
- 特征根不能是底 β\betaβ , 特解是 PβnP\beta^nPβn ;
- 特征根是底 β\betaβ , 该特征根重数为 eee , 特解是 PneβnPn^e\beta^nPneβn ;
③ 齐次部分没有重根 : H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn
④ 齐次部分有重根 : 通解第 iii 项 , 特征根 qiq_iqi , 重数 eie_iei , Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qinH_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^nHi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin , 最终通解 H(n)=∑i=1tHi(n)H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)H(n)=i=1∑tHi(n) ;
参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )
计算齐次部分通解 :
递推方程齐次部分标准形式 : an−2an−1=0a_n - 2a_{n-1} = 0an−2an−1=0
特征方程 : x−2=0x - 2 = 0x−2=0
特征根 : x=2x=2x=2
齐次部分通解 : an‾=c2n\overline{a_n} =c2^nan=c2n
计算非齐次部分通解 :
上述递推方程非齐次部分是 n+3nn + 3^nn+3n , 由两部分构成 :
nnn 的 ttt 次多项式 : nnn , 特征根不为 111 , 对应的特解是 nnn 的 ttt 次多项式 , 形式为 P1n+P2P_1n + P_2P1n+P2 ;
βn\beta^nβn 指数 : 3n3^n3n , 特征根不是底 333 , 对应的特解是 PβnP\beta^nPβn 形式 , 形式为 P33nP_33^nP33n ;
完整的特解 : an∗=P1n+P2+P33na^*_n = P_1n + P_2 + P_33^nan∗=P1n+P2+P33n
将特解代入到递推方程 :
(P1n+P2+P33n)−2[P1(n−1)+P2+P33n−1]=n+3n(P_1n + P_2 + P_33^n) - 2[P_1(n-1) + P_2 + P_33^{n-1}] = n + 3^n(P1n+P2+P33n)−2[P1(n−1)+P2+P33n−1]=n+3n
将左边式子展开 :
−P1n+(2P1−P2)+P33n−1=n+3n-P_1n + (2P_1 - P_2) + P_33^{n-1}=n+3^n−P1n+(2P1−P2)+P33n−1=n+3n
根据分析 nnn 的次幂项 , 常数项 , 3n3^n3n 项的对应关系 , 可以得到以下方程组 :
{−P1=12P1−P2=0P33=1\begin{cases} -P_1 = 1 \\\\ 2P_1 - P_2 = 0 \\\\ \cfrac{P_3}{3} =1 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−P1=12P1−P2=03P3=1
解上述方程组 , 结果为 :
{P1=−1P2=−2P3=3\begin{cases} P_1 = -1 \\\\ P_2 = -2 \\\\ P_3 =3 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧P1=−1P2=−2P3=3
特解 : 将上述常数代入到 an∗=P1n+P2+P33na^*_n = P_1n + P_2 + P_33^nan∗=P1n+P2+P33n 中 , 得到最终特解 : an∗=−n−2+3n+1a^*_n = -n - 2 + 3^{n+1}an∗=−n−2+3n+1 ;
齐次部分通解形式 : an‾=c2n\overline{a_n} =c2^nan=c2n
完整通解 : an=an‾+an∗=c2n−n−2+3n+1a_n = \overline{a_n} + a^*_n = c2^n -n - 2 + 3^{n+1}an=an+an∗=c2n−n−2+3n+1
将初值 a0=0a_0 = 0a0=0 代入上述通解 :
c20−0−2+30+1=0c2^0 - 0 - 2 + 3^{0+1} = 0c20−0−2+30+1=0
c−2+3=0c - 2 + 3 = 0c−2+3=0
c=−1c=-1c=−1
最终递推方程的通解是 an=2n−n−2+3n+1a_n = 2^n -n - 2 + 3^{n+1}an=2n−n−2+3n+1
二、递推方程通解的四种情况
通解形式 ( 重要 ) :
① 非齐次部分是 nnn 的 ttt 次多项式 :
- 特征根不为 111 , 特解是 nnn 的 ttt 次多项式 ;
- 如果特征根为 111 , 且重数为 eee , 那么特解是 nnn 的 t+et + et+e 次多项式 ;
② 非齐次部分是 PβnP\beta^nPβn :
- 特征根不能是底 β\betaβ , 特解是 PβnP\beta^nPβn ;
- 特征根是底 β\betaβ , 该特征根重数为 eee , 特解是 PneβnPn^e\beta^nPneβn ;
③ 齐次部分没有重根 : H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn
④ 齐次部分有重根 : 通解第 iii 项 , 特征根 qiq_iqi , 重数 eie_iei , Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qinH_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^nHi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin , 最终通解 H(n)=∑i=1tHi(n)H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)H(n)=i=1∑tHi(n) ;
参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )
【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )相关推荐
- 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程求解 | 递推方程标准型及通解 | 递推方程通解证明 )
文章目录 一.递推方程标准型及通解 二.递推方程通解证明 一.递推方程标准型及通解 H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a ...
- 组合数学之排列组合(Permutations and Combinations)(四种情况）
加减乘除四个原理不再赘述.(即使小学生都会的原理也能出些大学生不会的题目) 1集合的排列(Pertutations of Sets)(无重有序)(无重复有序) 设r为正整数,把n个元素的集合S的一个r ...
- 【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根 | 求特解示例 )
文章目录 一.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 二.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例 一.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 常系数线性非齐次递推方程 : H( ...
- 【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是指数的情况 | 非齐次部分是指数的情况示例 )
文章目录 一.非齐次部分是指数的情况 二.非齐次部分是指数的情况 示例 一.非齐次部分是指数的情况 常系数线性非齐次递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - ...
- 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性齐次递推方程 | 常系数、线性、齐次 概念说明 | 常系数线性齐次递推方程公式解法 | 特征根 | 通解 | 特解 )
文章目录 一.常系数线性齐次递推方程 二.常系数.线性.齐次 概念说明 三.常系数线性齐次递推方程公式解法 四.常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要 一.常系数线性齐次递推方程 常系数线性齐次递推方 ...
- 【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 )
文章目录 一.斐波那契数列求解 二.无重根下递推方程求解完整过程 一.斐波那契数列求解 1 . 斐波那契数列示例 : ( 1 ) 斐波那契数列 : 1,1,2,3,5,8,13,⋯1 , 1 , 2 ...
- 【组合数学】递推方程 ( 递推方程内容概要 | 递推方程定义 | 递推方程示例说明 | 斐波那契数列 )
文章目录 一.递推方程 内容概要 二.递推方程 定义 三.递推方程 示例 四.斐波那契数列 ( Fibnacci ) 一.递推方程 内容概要 递推方程 内容概要 : 递推方程定义 递推方程实例 常系数 ...
- c语言递推算法,c语言递推算法1
递推算法之一:倒推法 1.一般分析思路: if 求解初始条件F1 then begin { 倒推 } 由题意(或递推关系)确定最终结果Fn; 求出倒推关系式Fi-1 ＝G(Fi ); i=n; { 从 ...
- 极光推送收不到推送消息
极光推送收不到推送消息 问题 解决 猜测为什么会出现问题 问题 sdk版本号: // 极光推送 compile 'cn.jiguang.sdk:jpush:3.1.6' // 此处以JPush 3.1 ...
最新文章
- 数据产品通用复合指标查询计算的实践
- xml02 XML编程(CRUD)增删查改
- 【NET CORE微服务一条龙应用】应用部署
- 欢乐鼠标自动点击器_使用ESP32 DIY蓝牙自动点击器，滑屏器
- REVERSE-PRACTICE-CTFSHOW-2
- SQL Server中的STUFF函数的使用
- 实战经验：Oracle DG 的归档缺失修复
- python爬虫实战（1）——爬取知乎热门回答图片
- 网件rax40可以刷梅林_抢先一步体验WIFI6—网件RAX40 WIFI6路由器体验记
- TP5整合的阿里云短信接口
- 计算机春季高考试题答案,最新春季高考历年真题-天津市春季高考计算机试卷...
- Nvidia Jetson AGX Xavier 安装 Swin-Transformer-Object-Detection
- UEFI.源码分析.DXE的异步事件服务.第一部分.事件驱动
- 初学计算机，我在疑惑些什么？
- 批量修改后缀名的方法，批量修改文件后缀名
- maven Filtering true 作用
- 量化：常见策略指标合集
- mysql:Row size too large (＞ 8126)
- Matlab龚珀兹曲线模型预测,统计预测方法及预测模型介绍.ppt
- C语言编程勾股数,C语言求勾股数