一、递推方程标准型及通解

H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n≥k,ak≠0,f(n)≠0n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,ak=0,f(n)=0

上述方程左侧与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 000 , 而是一个基于 nnn 的函数 f(n)f(n)f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

则上述递推方程的通解如下 :

H(n)‾\overline{H(n)}H(n) 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程” H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0 的通解 ,

H∗(n)H^*(n)H∗(n) 是一个特解 ,

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H(n)=H(n)‾+H∗(n)H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=H(n)+H∗(n)

“常系数线性非齐次递推方程” 是 “常系数线性齐次递推方程” 的齐次通解 , 加上一个特解 ;

常系数线性非齐次递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)
常系数线性齐次递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0\ \ \ \, H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0

H∗(n)H^*(n)H∗(n) 特解 , 是一个能使得方程左右相等的特定函数 ,

将 H(n)=H(n)‾+H∗(n)H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=H(n)+H∗(n) 通解代入到 H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) 的左部 ,

将带上划线的 H(n)‾\overline{H(n)}H(n) 项合并 , 一定为 000 ,

将带 ∗*∗ 星号的 H∗(n)H^*(n)H∗(n) 项合并 , 一定为 f(n)f(n)f(n) ,

0+f(n)0 + f(n)0+f(n) 最终结果还是 f(n)f(n)f(n) , 与右侧的 f(n)f(n)f(n) 相等 ;

递推方程的任何一个解 , 都是一个齐次通解 , 加上一个特解的格式 ;

二、递推方程通解证明

证明 : 递推方程的通解 , 一定是一个齐次通解 , 加上一个特解的格式 ;

递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n≥k,ak≠0,f(n)≠0n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,ak=0,f(n)=0

假设 h(n)h(n)h(n) 是递推方程的通解 , 证明该 h(n)h(n)h(n) 是一个齐次通解 , 加上一个特解之和 ;

将 h(n)h(n)h(n) 代入上述递推方程中 ,

① h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k)=f(n)h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) = f(n)h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k)=f(n)

特解 H∗(n)H^*(n)H∗(n) 也是递推方程的解 , 将 H∗(n)H^*(n)H∗(n) 代入递推方程 , 左右也是相等的 ,

② H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k)=f(n)H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) = f(n)H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k)=f(n)

将上述 ① ② 两个等式的左部与左部相减 , 右部与右部相减 ,

(h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k))( h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) )(h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k)) −-− (H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k))( H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) )(H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k)) =0=0=0

合并上式中的项 :

[h(n)−H∗(n)]−a1[h(n−1)−H∗(n−1)]−⋯−ak[h(n−k)−H∗(n−k)]=0[ h(n) - H^*(n) ] - a_1[ h(n-1) - H^*(n-1) ] - \cdots - a_k[ h(n-k) - H^*(n-k) ] = 0[h(n)−H∗(n)]−a1[h(n−1)−H∗(n−1)]−⋯−ak[h(n−k)−H∗(n−k)]=0

上述方程是齐次方程 , h(n)−H∗(n)h(n) - H^*(n)h(n)−H∗(n) 是齐次方程的通解 ,

那么 h(n)h(n)h(n) 就是齐次方程通解与特解 H∗(n)H^*(n)H∗(n) 相加 ;

因此 H(n)=H(n)‾+H∗(n)H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=H(n)+H∗(n) 格式一定是通解 ;

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