1.LeetCode-239 滑动窗口的最大值

窗口由左往右最大值数组Left，和由右向左最大值数组right维护。

在这里插入代码片

    def maxSlidingWindow(self, nums: 'List[int]', k: 'int') -> 'List[int]':n = len(nums)if n * k == 0:return []if k == 1:return numsleft = [0] * nleft[0] = nums[0]right = [0] * nright[n - 1] = nums[n - 1]for i in range(1, n):# from left to rightif i % k == 0:# block startleft[i] = nums[i]else:left[i] = max(left[i - 1], nums[i])# from right to leftj = n - i - 1    # i = 1, j = n-2if (j + 1) % k == 0:# block endright[j] = nums[j]else:right[j] = max(right[j + 1], nums[j])output = []for i in range(n - k + 1): # i=[0,n-k)output.append(max(left[i + k - 1], right[i]))return output

2.LeetCode-53 连续子数组的最大和

借助连续性，如果某一块的和为负数，这一块不会作为和最大连续子数组的开头，因为去掉这个部分，后半段加和会更大。
动态规划的解题思路：dp[i] 以nums[i]结尾的连续子数组的最大和，dp[i] 只与dp[i-1]有关，空间约减后，空间复杂度为0(1)

    def maxSubArray(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""res = float("-INF")dp = 0for val in nums:dp += val        # [-1]  先加，更新答案，确定是否归零res = max(dp, res)dp = max(dp, 0)return res

3.LeetCode-152 乘积最大的子数组。

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

直接思路：fmax(i)f_{max}(i)fmax(i)表示以第i个元素结尾的乘积最大的子数组的积，状态转移方程为
fmax(i)=max⁡i=1n{f(i−1)∗ai,ai}f_{max}(i)=\max_{i=1}^n\{f(i-1)*a_i,a_i\} fmax(i)=i=1maxn{f(i−1)∗ai,ai}
即，fmax(i)f_{max}(i)fmax(i)可以考虑nums[i]加入前面fmax(i−1)f_{max}(i-1)fmax(i−1)对应的一段，或者自成一段，这两种情况取最大值，求出所有的f_i之后，选取一个最大的作为结果。

核心问题：当前位置的最优解不一定是由前一个位置的最优解得到。因为存在正负数

如果当前的数是负数的话，我们希望以num[i-1]为结尾的某一个段的积也是一个负数，负负可以为正。

如果当前数为正，我们希望以num[i-1]为结尾的某一个段的积也是一个正数，正的越多，乘积完越大。

所以再维护一个fmin(i)f_{min}(i)fmin(i)表示以第i个元素结尾的乘积最小的子数组的积：
fmax(i)=max⁡{fmax(i−1)∗ai,fmin(i−1)∗ai,ai}fmin(i)=min⁡{fmax(i−1)∗ai,fmin(i−1)∗ai,ai}f_{max}(i)=\max\{f_{max}(i-1)*a_i,f_{min}(i-1)*a_i,a_i\}\\ f_{min}(i)=\min\{f_{max}(i-1)*a_i,f_{min}(i-1)*a_i,a_i\}fmax(i)=max{fmax(i−1)∗ai,fmin(i−1)∗ai,ai}fmin(i)=min{fmax(i−1)∗ai,fmin(i−1)∗ai,ai}

def maxProduct(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""pre_max, pre_min = 1, 1res = float("-INF")for val in nums:cur_max = max(pre_max * val, pre_min * val, val)cur_min = min(pre_max * val, pre_min * val, val)pre_max, pre_min = cur_max, cur_minres = max(res, cur_max)return res

4.剑指 Offer 14- I. 剪绳子为k个整数段，使各个段成绩最大

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

1.dp

dp[i]: 长度为i 绳子至少剪了一次的最长长度
dp[i]=max(dp[j]∗(i−j),j∗(i−j),dp[i]),j∈[1,i−1]dp[i] = max(dp[j]*(i-j),j*(i-j),dp[i]),j\in[1,i-1]dp[i]=max(dp[j]∗(i−j),j∗(i−j),dp[i]),j∈[1,i−1]

class Solution(object):def cuttingRope(self, n):""":type n: int:rtype: int"""dp = [0]*(n+1)dp[1] = 1for i in range(2,n+1):for j in range(1,i):dp[i]= max(dp[i],dp[j]*(i-j),j*(i-j))return dp[-1]

n^2复杂度的DP

数学推导

通过数学不等式推到，可以得到，当每段长度为3时乘积最大。所以尽可能分为三段，最后一段依据具体情况判断：

class Solution(object):def cuttingRope(self, n):""":type n: int:rtype: int"""if n<=3:return n-1s, mod = n //3, n % 3   if mod == 0:res = 3**selif mod == 1:res = 3**(s-1)*4 else:res = 3**s*2return res%(10**9+7)

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