今天，我们介绍的机器学习算法叫逻辑回归。它英语名称是Logistic Regression，简称LR.

跟之前一样，介绍这个算法之前先举一个案例。然后，看一下，如何算法去解决案例中的问题。

这里，我们就直接使用“K临近算法”那一节课用到的案例。我再把案例简述一下：某公司开发了一款游戏，并且得到一些用户的数据。如下所示：

图中每一个图形表示一个用户。横坐标是用户年龄，纵坐标是用户每天使用手机的时长。红色表示该用户喜欢这款游戏，蓝色表示该用户不喜欢这款游戏。现在有个新用户，用绿色所示。这家公司想知道：这个新用户是否喜欢这款游戏？

在K临近法里，我们是找到新用户的几个邻居，然后比较邻居中哪种颜色的人多。根据物以类聚的原则，这个新用户跟大多数邻居的偏好应该是一致的，从而判断他是否喜欢这款游戏。

但是，K临近存在一个问题是，就是计算量特别大。对于每一个新用户，我们都需要计算他自己到所有人的距离，然后把距离从小到大进行排序，最后的到它的K个邻居。

假如有10000个老用户，然后用k临近法预测10000个新用户的类型。那总共需要计算10000 x 10000 = 100000000次，计算量大，消耗资源多。

而今天我们介绍的逻辑回归算法，则换了一种思路。它先从老用户中找到某种规律，然后直接利用这个规律判断新用户是那种类型的。

接下来，我们来看一下逻辑回归是怎么做。

对于这个案例，我们先画一条线把已有的用户分到两边。

这条线是随便画的。但我们发现，线上方的图形大部分是红色的，线下面的图形大部分是蓝色的。于是，我们就会得出一个初步的规律：“线上方的用户大都倾向于喜欢这款游戏，线下方的用户大都倾向于不喜欢这款游戏”。如果新用户在线的上方，我们就可以判断他很可能也喜欢这款游戏，也就是应该为红色。如果新用户在线的下方，他很可能不喜欢这款游戏，就应该是蓝色。

但是，我怎么知道这条线是不是一条好的划分呢？这里有一种判定标准，叫错误率。所谓错误率，就是一条线把多少用户划到了错误的一边。错误率是一个比率，我们的案例中，因为总人数是固定的，为了方便，我们就直接用错误人数代替错误率。

就拿这条线来说。它认为上方是红色用户，下面是蓝色用户。但是，它上方有4个蓝色是被错误划分的，而下面四个红色也是被错误划分的。 因此它划错的人数是4+4=8个。

我们把这条线稍微调整一下，看看能不能做到更好一点。现在我把线往逆时针方向转动了一点。 这时，他的下方还是4个红色被错误划分，但是上方只有三个蓝色被错误划分。最终错误数变成了7个，比刚才的错误数8要好一点，说明进步了。也就是，这条线比上一条线更合理。

然后，我们可以再微调一次，再计算错误率。再微调，再计算。这样不断进行下去。微调的过程中，如果哪一次的错误率变高了，我们就放弃那次结果。如果错误率降低了，我们就记下来。一直到错误率降到最低为止。我们就找到了一条最优的划分线。

假如图中这个是最优的线，它的左上侧有三个蓝色被划错；右下侧有2个红色被划错。合计5个。

我们就拿这条线作为标准，去预测新用户。 如下图：

本案例里，我们发现，绿色的新用户在线的左上侧，于是我们判断，这个用户应该是红色。也就是说，他可能喜欢这款游戏，这家公司应该向他推广这款游戏。

在逻辑回归算法里，微调和计算错误率都是自动进行的。而且，微调的方向也不是随机的，它是由一个叫“梯度下降”的方法控制着，这个方法可以保证每次微调都是向“正确”的方向调整。只要把数据给它，它就能自动调整，一直调到最优，程序才停下来。这就是逻辑回归的原理。

实际上，我们不一定非要用直线来划分，用曲线也是可以的，而且效果可能会更好。

比如改为这样的曲线，错误数就会降到4，这比刚才到使用直线的最优值5还要低。也就是说，这个分类效果更好。

曲线也是回归出来的。初始的时候，随机画一条曲线，然后慢慢调整曲线的位置、各个拐角的弯曲度，等等，一直调整到最终这个样子。

我们把这个过程称之为“训练”。“训练”是人工智能领域里面常用的一个词语。比如，打败人类围棋冠军的AlphaGo就是训练出来的；图像识别、语音识别、自动驾驶等等，里面用到的模型也都是训练出来的。

训练这个词，是借鉴过来的。人工智能出现之前，训练这个词用的最多的地方有可能是马戏团。比如，马戏团让猴子骑自行车表演，是需要先对这只猴子进行训练的。猴子最初是不会骑车的，骑上去就倒了。不过，让它多骑几次，就会有一点点进步。它每次进步一点，训练师就给他一点奖励，比如喂它一点食物，抚摸它几下。如果骑的不好，比如摔倒了，训练师就惩罚它，比如对它大吼，甚至打它。这样，即使猴子听不懂人类的语言，人与猴之间仅仅通过奖励和惩罚的机制，就能教会猴子骑自行车。

人工智能里的算法也是这样的，工程师通过奖励和惩罚计算机程序来训练模型。

那怎么奖励计算机程序呢？其实很简单。就拿我们的逻辑回归来说，程序不断调整划分线的过程，实际上是在不断调整表达那条线的参数。如果某一次参数的调整，使得划分的错误率变低，说明调整的好，我们就把这次调整的参数保留下来，“保留”就是对程序对奖励。如果这次调整使得错误率变高，就把他抛弃掉，“抛弃”就是对计算机对惩罚。这样，留到最后的参数就是最好的参数，最后的曲线，就是最优的曲线。

实际做这件事情的是一个叫损失函数的东西，它类似训练猴子中的，用于判断猴子做的“好”还是“不好”这样的机制，并且对“好”和“不好”进行量化。如果损失函数做的好，我们就能训练出一个更好的模型。

跟猴子一样，计算机也听不懂人类的语言，但是我们只要通过奖励和惩罚它，就能训练出一个好的模型。

好了，今天我们介绍了逻辑回归算法，并且用它对新用户进行了预测。

最后，我给大家留一个思考题。对于今天的案例，这里有一个新的划分曲线，它的错误数只有3，比刚才那条曲线错误数为更低，你认为这是不是一种更好的划分方式呢？如果想到了答案，就留在评论中。

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