3884: 上帝与集合的正确用法 —

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根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：

Input
接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值
Output
T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值
Sample Input
3

6
Sample Output
0

4
HINT
对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source
By PoPoQQQ

在对于一个数的幂次方大于模数的时候可以用欧拉降幂，否则快速幂都拯救不了世界，我也不知道为什么有这个东西。
但是好用就用了呗，在莫比乌斯反演的时候也用到了这玩意。
这道题怎么用，我们设g(d)=xd+y,g(d)=xd+y,g(d)=xd+y,那么答案就是 f(d)=g(d)%d=yf(d)=g(d)%d=yf(d)=g(d)\%d=y
因为所给的题目是2的无穷次，所以g=2gg=2gg=2^g
而2的无穷次就可以用欧拉降幂f(d)=2g(d)%φ(d)+φ(d)%df(d)=2g(d)%φ(d)+φ(d)%df(d)=2^{g(d)\%φ(d)+φ(d)}\%d
而g(d)%φ(d)==f(φ(d))g(d)%φ(d)==f(φ(d))g(d)\%φ(d)==f(φ(d))
那么f(d)=2f(φ(d))+φ(d)%df(d)=2f(φ(d))+φ(d)%df(d)=2^{f(φ(d))+φ(d)}\%d
这样就可以用递归做，在模数为1的时候就返回0了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define eps 1e-5
ll n;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{ll ret=a;ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*ret)%mod;ret=(ret*ret)%mod;b>>=1;}return ans;
}
ll phi(ll x)
{ll res=x,a=x;for(ll i=2;i<=sqrt(a)+eps;i++){if(a%i==0){res=res/i*(i-1);while(a%i==0)a/=i;}}if(a>1)res=res/a*(a-1);return res;
}
ll f(ll x)
{if(x==1)return 0;ll p=phi(x);return qpow(2ll,f(p)+p,x);
}
int main()
{int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",f(n));}
}

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